Механика. Суровицкая Г.В - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

50
2
0
,
k
m
ω
=
где ω
0
– циклическая частота собственных колебаний системы
(это частота, с которой совершались бы свободные колебания системы в
отсутствие сил трения и сопротивления среды).
После введения новых обозначений в уравнение (4.2) дифференциальное
уравнение колебаний примет вид:
2
2
0
2
2 0.
d x dx
x
dt dt
β ω
+ + =
(4.3)
Решение уравнения (4.3) имеет вид:
cos( ),
t
x A e t
β
ω ϕ
−
= +
где
0
t
A A e
β
−
=
– амплитуда затухающих колебаний, которая уменьшается с
течением времени по экспоненциальному закону (см. рисунок 4.2).
Декремент затухания равен отношению амплитуд затухающего
колебания, взятых через время, равное периоду колебаний:
0
0
( )
.
( )
t
T
t T
A e
A t
e
A t T A e e
β
β
β β
−
− −
= =
+
Логарифмический декремент затухания Θ:
( )
ln ln .
( )
T
A t
e T
A t T
β
β
Θ= = =
+
(4.4)
t
x
A
0
-A
0
e
-
βt
T
рисунок 4.2 
      k
        = ω 0 2 , где ω0 – циклическая частота собственных колебаний системы
      m
(это частота, с которой совершались бы свободные колебания системы в
отсутствие сил трения и сопротивления среды).
     После введения новых обозначений в уравнение (4.2) дифференциальное
уравнение колебаний примет вид:
                        d 2x      dx
                           2
                             + 2β    + ω 0 2 x = 0.        (4.3)
                        dt        dt
     Решение уравнения (4.3) имеет вид:
                         x = A0 e − β t cos(ω 0 t + ϕ 0 ), где

      A = A0 e − β t – амплитуда затухающих колебаний, которая уменьшается с
течением времени по экспоненциальному закону (см. рисунок 4.2).
                   x
                  A0
                                        T
                                                   e -βt

                                                                        t




                  -A0
                                       рисунок 4.2


     Декремент    затухания       равен      отношению             амплитуд   затухающего
колебания, взятых через время, равное периоду колебаний:
                           A(t )      A0 e− β t
                                   =    −β t −βT
                                                 = eβT .
                          A(t + T ) A0 e e
     Логарифмический декремент затухания Θ:
                                    A(t)
                           Θ= ln             = ln eβT = βT.                        (4.4)
                                   A(t + T )

                                            50

Страницы