Защита электронных средств от механических воздействий. Теоретические основы. Талицкий Е.Н. - 30 стр.

                ∂ 2U             ∂ 2V ∂ 2W            ∂ 2U ∂ 2U    ∂ 2U
      (λ + 2µ ) 2 + (λ + µ )(          +       ) + µ( 2 + 2 ) = ρ 2 ;
                ∂ x             ∂x ∂ y ∂x ∂ z         ∂y   ∂z       ∂t
                ∂2ν             ∂ 2W ∂ 2U             ∂ 2V ∂ 2V    ∂ 2V ; (1.16)
      ( λ + 2µ ) 2 + ( λ + µ )(       +        ) + µ( 2 2 + 2 ) = ρ 2
                ∂y              ∂y∂z ∂y∂x             ∂ z  ∂x       ∂t
                ∂W2
                                ∂U ∂V
                                  2        2
                                                     ∂W ∂W
                                                       2    2
                                                                   ∂ 2W
      (λ + 2µ) 2 + (λ + µ)(           +       ) + µ( 2 + 2 ) = ρ 2 ;
                 ∂z             ∂z∂x ∂z∂y             ∂x   ∂y       ∂t
                                          Eν
                               λ=                   ;
                                    (1 + ν)(1 − 2ν)
                                           E
                                   µ=            .
                                        2(1 + ν)
Здесь E – модуль упругости, p – плотность материала, ν – коэффициент
Пуассона. U, V, W – отклонения точки от положения равновесия в напра-
влении осей x, y, z прямоугольной системы координат.
      Уравнения Ламе могут применяться и для анализа дискретных сист-
ем, если систему с распределенными параметрами заменить системой с
дискретными параметрами.
      Решение системы уравнений Ламе в общем случае сложно, поэтому
по возможности их стремятся упростить. При этом используются особен-
ности формы конструкций и различные гипотезы об их деформировании.
При расчете пластин, например, можно исключить координату Z, а при
расчете балок – координаты Y и Z. Трехмерная задача в этих случаях при-
водится соответственно к двухмерной и одномерной. Если при этом ис-
пользовать гипотезу прямых нормалей [6], получим известные уравнения
свободных изгибных колебаний
                        ∂ 2W  ⎡ ∂ 4W  ∂ 4W ∂ 4W ⎤
                       m 2 + D⎢ 4 + 2 2 2 + 4 ⎥ = 0                      (1.16)
                         ∂t   ⎣ ∂x   ∂x ∂y ∂y ⎦
для пластин и
                                  ∂ 2W       ∂ 4W
                              m         + EJ      =0                     (1.17)
                                   ∂t 2      ∂x 4

для балок.
      В этих уравнениях
                                       EH 3
                                  D=                                     (1.18)
                                     2(1 − ν 2 )

- цилиндрическая жесткость пластины, EJ – жесткость балки на изгиб.
      Уравнения (1.16) и (1.17) могут быть получены и при помощи обрат-
ного способа составления уравнений движения.
30