Химические методы анализа. Танганов Б.Б. - 118 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

235
Рис. 6.6. Кривая y = y(t), построенная по значениям
(t
i
,y
i
) методом наименьших квадратов.
Теория вероятности показывает, что наилучшим при-
ближением будет такая кривая (или прямая) линия, для ко-
торой сумма квадратов расстояний по вертикали от точек до
кривой будет минимальной. Этот метод и называется ме-
тодом наименьших квадратов. Сущность этого метода со-
стоит в следующем.
Предположим, что искомая зависимость выражается
функцией y = f(t,А
1
,А
2
, ...,А
n
), где А
1
,А
2
, ...,А
n
- параметры.
Значения этих параметров определяются так, чтобы точки
y
i
располагались по обе стороны кривой y = f(t) как можно
ближе к последней, т.е. чтобы сумма квадратов отклонений
измеренных значений y
i
от функции y = f(t) была бы наи-
меньшей. Это соответствует предположению, что разброс
236
точек y
i
относительно кривой y = f(t) подчиняется закону
нормального распределения. Как отмечалось выше, мерой
этого разброса является дисперсия
σ
2
или ее приближенное
выражение - средний квадрат отклонений (при малой вы-
борке)
∆
S
n
2
= (1/n)
⋅Σ
[y
j
- y(t
j
)]
2
=
= (1/n)
⋅Σ
[y
j
- f(t
j
)]
2
= (1/n)
⋅Σ∆
y
j
*2
,
и требование минимального разброса соответствует тре-
бованию минимального значения этого среднего квадрата.
Как известно, функция f(A) принимает минимальное
значение при
А = А
min
если ее первая производная f
′
(A) = df/dA равна нулю, а вто-
рая производная f
′′
(A)=d
2
f/dA
2
положительна, при этом зна-
чения A = A
min
. Для функции многих переменных эти усло-
вия заменяются требованием, чтобы частные производные,
т.е. производные по параметру A
i
, удовлетворяли вышеупо-
мянутым условиям, причем все остальные параметры A
j
(j
≠
i) при вычислении производных считаются постоянными.
Таким образом, из условий минимума получаем сис-
тему уравнений для определения наилучших значений па-
раметров:
∂∆
S
n
2
/
∂
A
i
= -(2/n)
⋅Σ
[y
j
- f(t
j
)][
∂
f(t
j
)]/
∂
A
i
= 0 (6.25)
(i = 1, 2, ..., m; m
<
n)
Обычно форму зависимости f(t,А
1
,А
2
, ...,А
n
) задают в
виде полинома
f(t) = A
0
+ A
1
(t) + ... + A
m
t
m
=
Σ
A
i
t
i
(6.26)
(i = 0,1,..., m); [m
<
(n-1)]
или в виде любой другой системы линейно независимых
функций
ϕ
1
(t):
f(t) = A
1
ϕ
1
(t)+ A
2
ϕ
2
(t)+ ... + A
m
ϕ
m
(t)=
Σ
A
i
ϕ
i
(t) (6.27)
(i = 1,2,... m); (m
<
n),
достаточно хорошо передающей общий ход зависимости
y = f(t), 
                             235                                                                236


                                                                  точек yi относительно кривой y = f(t) подчиняется закону
                                                                  нормального распределения. Как отмечалось выше, мерой
                                                                  этого разброса является дисперсия σ2 или ее приближенное
                                                                  выражение - средний квадрат отклонений (при малой вы-
                                                                  борке)
                                                                                    ∆Sn2 = (1/n)⋅Σ[yj - y(tj)]2 =
                                                                              = (1/n)⋅Σ[yj - f(tj)]2 = (1/n)⋅Σ∆yj*2,
                                                                  и требование минимального разброса соответствует тре-
                                                                  бованию минимального значения этого среднего квадрата.
                                                                          Как известно, функция f(A) принимает минимальное
                                                                  значение при
                                                                                                   А = Аmin
                                                                  если ее первая производная f′(A) = df/dA равна нулю, а вто-
                                                                  рая производная f′′(A)=d2f/dA2 положительна, при этом зна-
                                                                  чения A = Amin. Для функции многих переменных эти усло-
                                                                  вия заменяются требованием, чтобы частные производные,
                                                                  т.е. производные по параметру Ai, удовлетворяли вышеупо-
                                                                  мянутым условиям, причем все остальные параметры Aj(j≠
Рис. 6.6. Кривая y = y(t), построенная по значениям               i) при вычислении производных считаются постоянными.
             (ti,yi) методом наименьших квадратов.                        Таким образом, из условий минимума получаем сис-
                                                                  тему уравнений для определения наилучших значений па-
     Теория вероятности показывает, что наилучшим при-            раметров:
ближением будет такая кривая (или прямая) линия, для ко-                  ∂∆Sn2/∂Ai = -(2/n)⋅Σ[yj - f(tj)][∂f(tj)]/∂Ai = 0 (6.25)
торой сумма квадратов расстояний по вертикали от точек до                                (i = 1, 2, ..., m; m< n)
кривой будет минимальной. Этот метод и называется ме-                     Обычно форму зависимости f(t,А1,А2, ...,Аn) задают в
тодом наименьших квадратов. Сущность этого метода со-             виде полинома
стоит в следующем.                                                            f(t) = A0 + A1(t) + ... + Amtm = ΣAiti        (6.26)
     Предположим, что искомая зависимость выражается                               (i = 0,1,..., m); [m< (n-1)]
функцией y = f(t,А1,А2, ...,Аn), где А1,А2, ...,Аn - параметры.   или в виде любой другой системы линейно независимых
Значения этих параметров определяются так, чтобы точки            функций ϕ1(t):
yi располагались по обе стороны кривой y = f(t) как можно           f(t) = A1ϕ1(t)+ A2ϕ2(t)+ ... + Amϕm(t)= ΣAiϕi(t) (6.27)
ближе к последней, т.е. чтобы сумма квадратов отклонений                              (i = 1,2,... m); (m< n),
измеренных значений yi от функции y = f(t) была бы наи-           достаточно хорошо передающей общий ход зависимости
меньшей. Это соответствует предположению, что разброс                                             y = f(t),

Страницы