ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
197
дений. Если эти методы применить к двум-пяти параллель-
ным анализам, которые в состоянии выполнить аналитик,
заключения о возможной случайной ошибке могут быть
ошибочными и слишком оптимистичными. В таких слу-
чаях требуется модификация методов.
VI.1.3.1. Оценка случайной погрешности
прямых измерений
Перейдем теперь к рассмотрению основ теории слу-
чайных погрешностей, позволяющей оценить величину по-
грешности для серии измерений.
В основе теории погрешностей лежат два предполо-
жения, подтверждаемых опытами.
1. При большом числе измерений случайные погреш-
ности одинаковой величины, но разного знака, т.е. погреш-
ности как в сторону уменьшения, так и в сторону увеличе-
ния, встречаются одинаково часто.
2. Большие (по абсолютной величине) погрешности
встречаются реже, чем малые, т.е. вероятность появления
погрешности уменьшается с ростом величины погрешности.
Предположим, что мы произвели n прямых (непо-
средственных) измерений некоторой физической величины,
истинное значение которой (нам неизвестное) обозначим
через а. Обозначим через а
1
, а
2
, ..., а
n
результаты отдельных
измерений, а через (∆а
i
*
= а - а
i
)
- истинную абсолютную
погрешность (ошибку) i-того измерения. Тогда результа-
ты измерений можно представить в виде
а
1
= а -
∆
а
1
*
,
а
2
= а -
∆
а
2
*
, ( 6.1 )
. . . . . . . . . . .
а
n
= а -
∆
а
n
*
,
198
Естественно, что абсолютные погрешности
∆
а
1
*
,
∆
а
2
*
,
...,
∆
а
n
*
могут принимать как положительные, так и отрица-
тельные значения.
Суммируя левую и почленно правую части равенств
(6.1), получаем
Σ
а
i
= na -
Σ∆
а
i
*
( 6.2 )
Если ввести среднеарифметическую величину
а
ср
= (1/n)
⋅Σ
а
i
( 6.3 )
то, разделив обе части равенства (6.2) на число измерений n,
получаем после перестановки членов:
а = а
ср
= (1/n)
⋅
Σ∆
а
i
*
( 6.4 )
Если число n измерений достаточно велико (т.е. n → ∞), то
lim (1/n)⋅
Σ∆
а
i
*
= 0 ( 6.5 )
n → ∞ i=1
так как в серии из большого числа измерений всякой поло-
жительной погрешности можно сопоставить равную ей по
абсолютной величине отрицательную погрешность.
Из (6.4) следует, что
а = а
ср
при n → ∞, ( 6.6 )
т.е. при бесконечно большом числе измерений истинное
значение измеряемой величины равно среднеарифметиче-
скому значению а
ср
всех результатов произведенных изме-
рений при отсутствии систематических ошибок (по-
грешностей). Однако при ограниченном измерений (n
≠
∞
)
среднеарифметическое значение а
ср
будет отличаться от ис-
тинного значения а, т.е. равенство ( 6.6 ) будет не точным, а
приближенным:
а
≈
а
ср
(6.7)
и нам нужно оценить величину этого расхождения.
Появление того или иного значения а
i
в процессе из-
мерения является случайным событием. Существует неко-
торая вероятность появления этого значения в интервале а
i
-
(1/2)dа
i
, а
i
+ (1/2)dа
i
, а следовательно, и появления соответ-
197 198
дений. Если эти методы применить к двум-пяти параллель- Естественно, что абсолютные погрешности ∆а1*, ∆а2*,
ным анализам, которые в состоянии выполнить аналитик, ..., ∆аn* могут принимать как положительные, так и отрица-
заключения о возможной случайной ошибке могут быть тельные значения.
ошибочными и слишком оптимистичными. В таких слу- Суммируя левую и почленно правую части равенств
чаях требуется модификация методов. (6.1), получаем
Σаi = na - Σ∆аi* ( 6.2 )
VI.1.3.1. Оценка случайной погрешности Если ввести среднеарифметическую величину
прямых измерений аср = (1/n)⋅Σаi ( 6.3 )
Перейдем теперь к рассмотрению основ теории слу- то, разделив обе части равенства (6.2) на число измерений n,
чайных погрешностей, позволяющей оценить величину по- получаем после перестановки членов:
грешности для серии измерений. а = аср = (1/n)⋅ Σ∆аi* ( 6.4 )
В основе теории погрешностей лежат два предполо- Если число n измерений достаточно велико (т.е. n → ∞), то
жения, подтверждаемых опытами.
lim (1/n)⋅ Σ∆аi* = 0 ( 6.5 )
1. При большом числе измерений случайные погреш- n→∞ i=1
ности одинаковой величины, но разного знака, т.е. погреш-
так как в серии из большого числа измерений всякой поло-
ности как в сторону уменьшения, так и в сторону увеличе-
жительной погрешности можно сопоставить равную ей по
ния, встречаются одинаково часто.
абсолютной величине отрицательную погрешность.
2. Большие (по абсолютной величине) погрешности
Из (6.4) следует, что
встречаются реже, чем малые, т.е. вероятность появления
погрешности уменьшается с ростом величины погрешности. а = аср при n → ∞, ( 6.6 )
Предположим, что мы произвели n прямых (непо- т.е. при бесконечно большом числе измерений истинное
средственных) измерений некоторой физической величины, значение измеряемой величины равно среднеарифметиче-
истинное значение которой (нам неизвестное) обозначим скому значению аср всех результатов произведенных изме-
через а. Обозначим через а1, а2, ..., аn результаты отдельных рений при отсутствии систематических ошибок (по-
измерений, а через (∆аi* = а - аi ) - истинную абсолютную грешностей). Однако при ограниченном измерений (n ≠ ∞)
погрешность (ошибку) i-того измерения. Тогда результа- среднеарифметическое значение аср будет отличаться от ис-
ты измерений можно представить в виде тинного значения а, т.е. равенство ( 6.6 ) будет не точным, а
приближенным:
а ≈ аср (6.7)
а1 = а - ∆а1*, и нам нужно оценить величину этого расхождения.
Появление того или иного значения аi в процессе из-
а2 = а - ∆а2*, ( 6.1 )
мерения является случайным событием. Существует неко-
...........
торая вероятность появления этого значения в интервале аi -
аn = а - ∆аn*,
(1/2)dаi, аi + (1/2)dаi, а следовательно, и появления соответ-
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 97
- 98
- 99
- 100
- 101
- …
- следующая ›
- последняя »
