Линейная алгебра. Линейное программирование. Тарбокова Т.В. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

23
Теорема су-
ществования
обратной
матрицы
Необходимым и достаточным условием существова-
ния матрицы
1
−
A
, обратной матрице
A
, является
невырожденность матрицы
A
.
Доказательство. Пусть матрица
A
имеет обратную
1
−
A
, т.е.
E
A
A
A
A
=
⋅
=
⋅
−
−
11
. Но определитель произведения матриц равен произ-
ведению определителей матриц, т.е.
1det)det(
11
==⋅=⋅
−−
EAAAA ,
сле
-
довательно
, 0
A .
Необходимое
условие
доказано
.
Достаточность
примем
без
доказательства
.
Чтобы найти обратную для
A
матрицу
1
−
A
,
можно
действовать
следующим
образом
:
1.
Вычислить
определитель
матрицы
A
(
)
0det
≠
A
.
Если
0
det
=
A
,
то
матрица
A
не
имеет
обратной
1
−
A
.
2.
Составить
присоединённую
матрицу
из
алгебраических
дополнений
соответствующих
элементов
матрицы
A
:
(
)
ij
A .
3.
Транспонировать
присоединённую
матрицу
,
то
есть
заменить
строки
на
столбцы
с
такими
же
номерами
:
(
)
T
ij
A
.
4.
Разделить
транспонированную
присоединённую
матрицу
на
опреде
-
литель
матрицы
A
:
(
)
( )
T
ij
T
ij
A
A
A
A
A
det
1
det
1
==
−
.
Пример 1.11. Найдем обратную матрицу
1
−
A
для матрицы
−
=
30
21
A
1.
0303
30
21
det ≠=−=
−
=A .
2
.
( )
=
12
03
ij
A .

Страницы