ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Выделение Парето-оптимального подмножества – достаточно трудная задача, для которой пока не известен
универсальный алгоритм. Однако для некоторых частных случаев такие алгоритмы известны, например, для случая
линейной задачи векторной оптимизации существует обобщенный вариант симплекс-метода, который позволяет выделить
все Парето-оптимальные крайние точки и неограниченные эффективные ребра. Однако в нашем случае он не подходит, так
как некоторые из целевых функций являются нелинейными. В этом случае напрашивается решение, использующее идею
полного просмотра всех возможных вариантов решений и выбора из них лучшего. Однако, естественно, что такой полный
просмотр невозможен, так как количество точек просмотра бесконечно. Для того, чтобы уменьшить количество
просматриваемых точек можно (конечно, в ущерб получаемого объема информации) каким-либо разумным способом
организовать процедуру просмотра. На этой идее и основан метод решения проектно-конструкторских задач с
противоречивыми критериями, предложенный И. М. Соболем и Р. Б. Статниковым и основанный на утверждении, что
максимальное число просматриваемых точек при минимуме вычислений достигается, если точки выбираются из так
называемой ЛПτ-последовательности. Название ЛПτ-последовательность появилось как сокращение фразы
"бесконечные последовательности точек, любой двоичный участок которых есть Пτ-сетка". Таким образом, просматривая
варианты в точках, соответствующих ЛПτ-последовательности и, вычисляя значения критериев в этих точках, можно
принимать обоснованные решения. Для выделения среди полученных точек Парето-оптимальных используется метод,
основанный на применении алгоритмов сортировки. Достоинством данного метода является отсутствие необходимости
решения скалярных задач оптимизации, которые в некоторых случаях (сложные нелинейные функции с обилием разрывов и
т.д.) требуют значительных затрат машинного времени. В нашем случае это не столь актуально, как в инженерных задачах,
так как экстремумы всех использованных функций легко вычисляются.
Поэтому в качестве метода построения множества Парето был выбран приближенный графоаналитический метод Н. Н.
Моисеева, который заключается в последовательном итеративном процессе решения простейших оптимизационных задач. В
случае двух критериев он применяется следующим образом: сначала задаются начальными произвольными значениями
критериев: f
1
= c
1
; f
2
= c
2
. Затем решаются две оптимизационные задач:
1) max f
1
, f
2
= c
2
; 2) max f
2
, f
1
= c
1
. (62)
Решив эти две задачи находят точки a и b. Прямая, соединяющая эти две точки является областью Парето в первом
приближении. Далее решаются две аналогичные задачи. При этом задаются значениями критериев: f
1
= c
3
; f
2
= c
4
. Затем
решаются две оптимизационные задачи:
1) max f
1
, f
2
= c
4
; 2) max f
2
, f
1
= c
3
. (63)
Через полученные точки снова проводят прямые. После соединения точек c и d получают ломаную acdb, которая
является областью Парето второго приближения. В большинстве случаев второе приближение является достаточным.
В случае большего числа критериев метод теряет наглядность, но может выполняться с помощью ЭВМ.
Важной проблемой является визуальное представление множества Парето. В случае двух критериев оно отображается
линией на плоскости. В случае трех критериев множество Парето можно визуализовать поверхностью в пространстве,
однако, в отличие от линии на плоскости сделать выбор на основании трехмерного графика достаточно трудно. Поэтому
возможно применение альтернативного метода линий уровня, который можно обобщить на большее число критериев.
При построении множества Парето-оптимальных решений ввиду трудностей многомерной визуализации необходимо
выбрать два – три критерия, наиболее актуальных в данный момент.
Скалярные методы решения задачи
многокритериальной оптимизации
Методика построения множества Парето позволяет представить наиболее полную информацию о многокритериальной задаче
оптимизации лицу, принимающему решение, без каких-либо предпосылок об относительной важности критериев. Однако данный
метод достаточно громоздок и трудно применим в случае большого числа критериев (более трех). Поэтому на практике более
широко применяются методы, позволяющие тем или иным способом привести решение задачи векторной оптимизации к скалярной.
Метод главного критерия
Наиболее простым и часто применяющимся методом является выделение одного критерия в качестве главного и
перевод остальных критериев в разряд ограничений путем формулировки дополнительных ограничений на значения этих
критериев. Конкретные значения данных дополнительных ограничений могут быть установлены, например, с помощью
статистических методов, или экспертным путем на основании неформальных соображений. Вероятно, в большинстве
ситуаций для банка основным критерием, подлежащим максимизации, будет являться показатель прибыльности
(рентабельности), а на критерии, отражающие различные аспекты надежности, будут накладываться ограничения, так как
конечной целью деятельности всякой коммерческой организации является получение прибыли, а увеличение надежности
путем, например, чрезмерного повышения ликвидности выше разумных пределов не только не увеличит доверие клиентов и
партнеров, но и может поставить под угрозу будущее состояние банка ввиду снижения прибыльности. Однако в некоторых
ситуациях оправдано сосредоточение усилий на максимизации какого-либо другого критерия, помимо прибыльности. Так, в
предвидении кризиса доверия к банковской системе разумной является максимизация ликвидности с целью удовлетворения
массовых требований по возврату вкладов. В случае, если банк желает расширить свою ресурсную базу путем привлечения
вкладов такой группы населения и хозяйственных агентов, которая при выборе банка ориентируется на его место в
популярных банковских рейтингах, то следует максимизировать итоговый рейтинг банка по модели Кромонова, как
наиболее популярной. В целом, метод приведения многокритериальной задачи к однокритериальной путем наложения
дополнительных ограничений на менее важные критерии является широко распространенным ввиду своей понятности,
простоты интерпретации результатов и невысоких требований к математической подготовке эксперта, программному
обеспечению и быстродействию ЭВМ. Однако данному методу присущ ряд фундаментальных недостатков. Прежде всего,
данный метод значительно упрощает структуру исходной задачи, не учитывает разницу в значениях критериев,
переведенных в разряд ограничений. Кроме того, достаточно трудной задачей является формулирование ограничений на
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 64
- 65
- 66
- 67
- 68
- …
- следующая ›
- последняя »
