Экономические основы стабильности банковской системы России. Тен В.В - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

∑∑
=
=
∈
=
=
K
k
kk
a
SX
K
k
kk
XfaXfa
1
0
1
1
000
0
)(max)( . (67)
Теорема Карлина 2.
Если в выпуклой задаче многокритериальной оптимизации точка
SX ∈
0
Парето-оптимальна, то существует вектор
весовых коэффициентов
},,{ KkaA
k
10
00
=≥= , для которого выполняется соотношение:
∑∑
=
=
∈
=
=
K
k
kk
a
SX
K
k
kk
XfaXfa
1
0
1
1
000
0
)(max)( . (68)
Согласно данным теоремам, данную свертку можно использовать для получения Парето-оптимальных точек.
Примером данной свертки может служить итоговый рейтинг надежности банка Кромонова, полученный как аддитивная
свертка ряда коэффициентов. Достоинством данного метода является то, что он согласно теореме Карлина генерирует
Парето-оптимальные точки. Однако ему присущ целый ряд фундаментальных недостатков. Во-первых, неявная функция
полезности лица, принимающего решения, как правило, нелинейна, поэтому «истинные» веса критериев (т.е. такие веса, при
которых градиент взвешенное целевой функции совпадает по направлению в градиентом функции полезности) будут
меняться от точки к точке, поэтому можно говорить лишь о локально подходящих весах, кроме того, часто лицо,
принимающее решение вообще не может задать весовые коэффициенты. Во-вторых, далеко не всегда потеря качества по
одному из критериев компенсируется приращением качества по другому. Поэтому полученное решение, оптимальное в
смысле единого суммарного критерия, может характеризоваться низким качеством по ряду частных критериев и быть
поэтому абсолютно неприемлемым. В-третьих, полученное решение часто бывает неустойчиво, т.е. малым приращениям
весовых коэффициентов соответствуют большие приращения целевых функций. В-четвертых, свертка критериев разной
физической природы не позволяет интерпретировать значение взвешенной целевой функции. В-пятых, значительные
затруднения могут возникнуть в случае сильной корреляции между критериями.
Некоторые из вышеперечисленных недостатков могут быть скорректированы. Так, в случае разной физической
(экономической) природы критериев возможна их нормализация и последующая свертка нормализованных критериев.
Чтобы исключить неприемлемо низкие значения отдельных критериев, можно наложить дополнительные ограничения на
эти критерии.
Другим методом борьбы с данным недостатком – неприемлемо низкими значениями отдельных критериев при хорошем
значении суммарного критерия – является применение сверток не аддитивного, а мультипликативного вида:
∏
∈
β
=
Kk
kk
k
XfaF ))((max
0
. (69)
Однако данная свертка не получила большого распространения ввиду того, что существуют аналогичные, но более
перспективные виды сверток.
Так, существует свертка вида:
∑
=
−
=
K
k
p
k
kk
f
Xff
F
1
0
*
*
)(
min
. (70)
Наиболее широкое применение данная свертка получила при p = 2, которая трактуется как минимизация суммы
квадратов относительных отклонений функционалов от своих достижимых оптимальных значений. Данная точка в случае
равноценности критериев показывает решение, наиболее близкое к недостижимой «идеальной» точке (в которой все
критерии принимают свое максимальное значение). Однако данной свертке также свойственен следующий
распространенный недостаток: «хорошее» значение сводного критерия достигается ценой низких значений некоторых
частных критериев.
Методики, основанные на гарантированном результате
Данный недостаток отсутствует в методиках, основанных на гарантированном результате (максимине, минимаксе). Данный
принцип впервые был предложен Карлиным [19] в следующей постановке:
},,{)(minmax KkfXF
k
k
X
1== . (71)
Данная задача называется максимизацией минимальной компоненты. Но, так как критерии часто измеряются в разных
единицах, то не представляется возможным сравнивать критерии между собой и вести совместную оптимизацию.
Машуниным был предложен усовершенствованный вариант данной методики, основанный на использовании
нормализации критериев.
Машунин вводит понятие уровня λ-нижней из относительных оценок:
)(min X
k
Kk
λ
=
λ
∈
(72)
и преобразует максиминную задачу
)(minmax X
k
Kk
SX
λ=λ
∈
∈
0
(73)
в экстремальную задачу
KkX
k
SX
,),(,max 1
0
=λ≤λλ=λ
∈
. (74)

Страницы