Теоретическая механика. - 146 стр.

        2.25 Дифференциальные уравнения движения механической системы
в обобщенных координатах или уравнения Лагранжа второго рода
        Уравнения Лагранжа второго рода – это уравнения движения
системы в обобщенных координатах.
        Уравнений составляется столько, сколько обобщенных координат
определено для описания движения системы: для системы с одной
степенью свободы составляется одно уравнение, для системы с двумя
степенями свободы – два и т.д.

        d ⎛ ∂Τ ⎞ ∂Τ
            ⎜        ⎟−    = Qi .
        dt ⎜⎝ ∂q& i ⎟⎠ ∂qi

                                  mk vk2
где i = 1,2,3,..., s ; Τ = ∑               – кинетическая энергия системы, s – число
                                    2
степеней свободы.
       Для          консервативной         системы,   в   которой   действуют   только
потенциальные силы, обобщенные силы можно найти как производные от
потенциальной энергии системы по обобщенным координатам
                    ∂Π           ∂Π               ∂Π
        Q1 = −          ; Q2 = −     ;...; Qs = −     .
                    ∂q1          ∂q2              ∂qs

       Уравнения Лагранжа будут иметь вид

        d ⎛⎜ ∂Τ       ⎞ ∂Τ
                      ⎟−        ∂Π
                             =−      ,
        dt ⎜⎝ ∂q& j   ⎟ ∂q j
                      ⎠         ∂q j


      d ⎛⎜ ∂L       ⎞ ∂L
                    ⎟−
или                        = 0,
      dt ⎜⎝ ∂q& j   ⎟ ∂q j
                    ⎠
где L = Τ − Π – функция Лагранжа.




                                               146