Теоретическая механика. - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Рубрика: 

58
где
22
1
nkk −= – циклическая частота затухающих колебаний;
2
2
2
1
CCA += ;
2
1
tg
C
C
=α
.
Здесь
α,,,
21
ACC – также постоянные интегрирования.
Движение, определяемое уравнением (2.11) имеет колебательный
характер, т.к. координата
x периодически изменяет свой знак (при
изменении знака функции синуса), однако амплитуда колебаний
уменьшается со временем (на что указывает сомножитель
nt
e
−
) (рисунок
25).
Постоянные интегрирования определяются из начальных условий.
Дифференцируя закон движения (2.10) по времени, получим закон
изменения скорости (первый интеграл):
).cossin()sincos(
111111211
tkktkCketkCtkCnex
ntnt
+−++−=
−
−
&
Используя начальные условия, находим
0
1
xC = ,
22
00
2
nk
xnx
C
−
+
=
&
, и
решение (2.10) примет вид
)sincos(
1
1
00
10
tk
k
xnx
tkxex
nt
&
+
+=
−
. (2.12)
или (2.11), где
22
2
00
2
0
)(
nk
nxx
xA
−
+
+=
&
;
22
0
00
ctg
nkx
xnx
−
+
=α
&
.
Период затухающих колебаний равен
22
1
1
22
nk
k
T
−
π
=
π
=
, (2.13)
где
k – частота свободных колебаний. 
где    k1 = k 2 − n 2       – циклическая                 частота      затухающих колебаний;

                            C1
A = C12 + C22 ; tgα =             .
                            C2

Здесь C1 , C2 , A, α – также постоянные интегрирования.

       Движение, определяемое уравнением (2.11) имеет колебательный
характер, т.к. координата x периодически изменяет свой знак (при
изменении       знака      функции             синуса),       однако    амплитуда    колебаний
уменьшается со временем (на что указывает сомножитель e − nt ) (рисунок
25).
       Постоянные интегрирования определяются из начальных условий.
       Дифференцируя закон движения (2.10) по времени, получим закон
изменения скорости (первый интеграл):

       x& = −ne − nt (C1 cos k1t + C2 sin k1t ) + e − nt (−k1C1 sin k1t + k1 cos k1t ).

                                                                                    nx0 + x&0
       Используя начальные условия, находим C1 = x0 , C2 =                                         , и
                                                                                          2    2
                                                                                     k −n
решение (2.10) примет вид
                                      nx0 + x&0
        x = e − nt ( x0 cos k1t +               sin k1t ) .                                   (2.12)
                                         k1

                                   ( x&0 + nx0 ) 2            nx0 + x&0
или (2.11), где A =        x02   +                 ; ctgα =               .
                                       k 2 − n2                   2
                                                            x0 k − n    2


       Период затухающих колебаний равен
              2π    2π
       T1 =      =        ,                                                                   (2.13)
              k1    2
                   k −n 2


где k – частота свободных колебаний.




                                                     58

Страницы