Теоретическая механика. - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Рубрика: 

57
Дифференциальное уравнение движения точки в проекции на ось x
следующее:
∑
=
x
Fxm
&&
, или
xx
RFxm
−
−
=
&&
(2.7)
Подставляя значения F
x
и R
x
, получим:
c
x
x
x
m
−
μ−=
&&&
.
Дифференциальное уравнение движения точки имеет вид:
0=+μ+ c
x
x
x
m
&&&
. (2.8)
Поделим левую и правую части уравнения на m и введем обозначения
M
c
k =
2
и
M
n
μ
=2 (k – частота свободных колебаний, n – коэффициент
затухания). Получим дифференциальное уравнение в приведенной форме:
02
2
=++
x
k
x
n
x
&&&
. (2.9)
Уравнение (2.9) может иметь возможные решения в следующих
случаях:
1)
n<k – случай малого сопротивления.
2)
n>k – случай большого сопротивления.
В первом случае
решение дифференциального уравнения (2.9)
следует искать:
– или в тригонометрической форме:
)sincos(
1
2
1
1
tkCtkCex
nt
+=
−
; (2.10)
– или в амплитудной:
)sin(
1
α+=
−
tkAex
nt
, (2.11) 
       Дифференциальное уравнение движения точки в проекции на ось x
следующее:

        m&x& =   ∑ Fx , или m&x& = − Fx − Rx                    (2.7)

       Подставляя значения Fx и Rx, получим:
       m&x& = −μx& − cx .

       Дифференциальное уравнение движения точки имеет вид:
       m&x& + μx& + cx = 0 .                                    (2.8)

Поделим левую и правую части уравнения на m и введем обозначения
       c        μ
k2 =     и 2n =   (k – частота свободных колебаний, n – коэффициент
       M        M
затухания). Получим дифференциальное уравнение в приведенной форме:

       &x& + 2nx& + k 2 x = 0 .                                 (2.9)
       Уравнение (2.9) может иметь возможные решения в следующих
случаях:
       1) nk – случай большого сопротивления.
       В первом случае решение дифференциального уравнения (2.9)
следует искать:
– или в тригонометрической форме:

       x = e − nt (C1 cos k1t + C2 sin k1t ) ;                (2.10)

– или в амплитудной:

       x = Ae − nt sin(k1t + α) ,                              (2.11)




                                                 57

Страницы