Теория множеств. - 3 стр.

                                       -2-                          Теория множеств


           СВОЙСТВА МНОЖЕСТВ. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ

      Понятие ''множества'' относится к числу фундаментальных неопределяемых
понятий. Основоположник теории множеств Г.Кантор ввел множество как объединение
в одно целое объектов, хорошо различимых нашей интуицией или мыслью. Объекты
множества называются элементами множества.
      Запись х ∈ А читается ''элемент х принадлежит А'' или ''х есть элемент мно –
жества А''; х ∉ А - ''х не принадлежит множеству А'', здесь ∈ - знак отношения
принадлежности (соответственно ∉- не принадлежности).
      Множество может задаваться:
      а) перечислением его элементов
                                 А = {х1 , х 2 ,..., х n } ,
где х i - элемент множества А, (i = 1 , n ) ;
        б) с помощью описания свойства объектов, по которому они объединяются в
одно множество
                                          А = { х | С (х) } ,
где С(х) – характеристическое свойство, которому удовлетворяют элементы этого мно –
жества.
        Два множества считаются равными, если они состоят из одних и тех же
элементов.
        Запись А ⊆ В читается ''А включено в В'' или ''А есть подмножество В'' и
означает, что каждый элемент множества А является элементом множества В, здесь ⊆ –
знак отношения включения.
        Запись А ⊂ В читается ''А строго включено в В'' и означает, что А ⊆ В и
 А ≠ В , где ⊂ - знак отношения строгого включения.
        Отношение включения обладает следующими свойствами:
        1) рефлексивностью – А ⊆ А ;
        2) транзитивностью – если А ⊆ В и В ⊆ С , то А ⊆ С ;
        3) интуитивным принципом объемности – если А ⊆ В и В ⊆ А , то А = В .
Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается Ø.
        Если все рассматриваемые в ходе какого-либо рассуждения множества являются
подмножествами некоторого другого множества, то это множество называется
универсальным множеством и обозначается U.
        Новые множества могут задаваться с помощью операций над множествами:
        объединение
                                    А U В = { х | х ∈ А или х ∈ В } ;
        пересечение
                                     А I В = { х | х ∈ А и х ∈ В };
        разность
                                     А \ B ={ х | х ∈ А и х ∉ В };
        симметрическая разность
                      А ∆ В = { х | ( х ∈ А и х ∉ В) или (х ∉ А и х ∈ В ) } , т.е.
                                        А ∆ В = (А \ В) U (В \ А).
        Дополнением множества А будем называть множество
                                              А= { х| х∉ А }
      или А = U \ А. Следовательно, А \ В можно представит как А I В.