Физика. Часть 4. Атомная физика. Терлецкий И.А - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

33
Шредингера (1.41) записано для одномерного случая, когда частица может
двигаться только вдоль одной оси х.
В общем случае волновая функция является функцией от всех координат и
уравнение (1.41) будет выглядеть:
( )
0
2
2
2
2
2
2
22
=ψ−+
∂
ψ∂
+
∂
ψ∂
+
∂
ψ∂
UE
zyx
m
h
.
Этому уравнению можно придать более компактную форму, используя
оператор Лапласа
2
2
2
2
2
2
zyx ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∆ :
( )
0
2
2
=ψ−+ψ∆ UE
m
h
. (1.55)
Электрон в атоме водорода находится в поле кулоновской силы
электростатического притяжения к ядру. Потенциальная энергия
взаимодействия электрона с ядром:
r
e
rU
0
2
4
)(
πε
−= , (1.56)
зависит только от r – расстояния между электроном и протоном, поэтому
решать задачу с таким видом потенциальной энергии удобнее в сферической
системе координат.
Подставив выражение для потенциальной энергии (1.56) в уравнение (1.55),
получим уравнение Шредингера, которому подчиняется волновая функция,
описывающая состояние электрона в атоме водорода:
0
4
2
0
2
2
=ψ
πε
++ψ∆
r
e
E
m
h
, (1.57)
где m – масса электрона; Е – энергия электрона в атоме водорода.
Электрон в атоме находится в потенциальной яме, края которой имеют
форму гиперболы (рис.1.10). Очевидно, что решение этой задачи должно быть
подобно решению задачи, когда частица находилась в бесконечно глубокой
одномерной потенциальной яме с прямоугольными краями.
Строгое решение уравнения (1.57) дает следующие результаты. Электрон в
атоме обладает не произвольным значением энергии, а набором определенных
отрицательных дискретных значений E
n
:
22
0
2
4
1
8 nh
me
E
n
⋅−=
ε
, (1.58)
где n – главное квантовое число, принимающее значения 1,2,3.…,∞. 
Шредингера (1.41) записано для одномерного случая, когда частица может
двигаться только вдоль одной оси х.
    В общем случае волновая функция является функцией от всех координат и
уравнение (1.41) будет выглядеть:
                    h 2  ∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ 2 ψ 
                             +    +       + (E − U )ψ = 0 .
                    2m  ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 
Этому уравнению можно придать более компактную форму, используя
                    ∂2  ∂2  ∂2
оператор Лапласа ∆ = 2 + 2 + 2 :
                    ∂x  ∂y  ∂z
                               h2
                                  ∆ψ + ( E − U )ψ = 0 .                  (1.55)
                               2m
    Электрон в атоме водорода находится в поле кулоновской силы
электростатического   притяжения        к    ядру.  Потенциальная энергия
взаимодействия электрона с ядром:
                                           e2
                               U (r ) = −         ,    (1.56)
                                          4πε 0 r
зависит только от r – расстояния между электроном и протоном, поэтому
решать задачу с таким видом потенциальной энергии удобнее в сферической
системе координат.
    Подставив выражение для потенциальной энергии (1.56) в уравнение (1.55),
получим уравнение Шредингера, которому подчиняется волновая функция,
описывающая состояние электрона в атоме водорода:

                                   2m        e 2 
                            ∆ψ +        E +           ψ = 0,            (1.57)
                                   h 2     4πε0 r 
где m – масса электрона; Е – энергия электрона в атоме водорода.
     Электрон в атоме находится в потенциальной яме, края которой имеют
форму гиперболы ( рис.1.10). Очевидно, что решение этой задачи должно быть
подобно решению задачи, когда частица находилась в бесконечно глубокой
одномерной потенциальной яме с прямоугольными краями.
     Строгое решение уравнения (1.57) дает следующие результаты. Электрон в
атоме обладает не произвольным значением энергии, а набором определенных
отрицательных дискретных значений En:
                                           me 4 1
                                 En = −           ⋅ ,           (1.58)
                                          8h 2ε 02 n 2
где n – главное квантовое число, принимающее значения 1,2,3.…,∞.



                                        33

Страницы