Элементы теории линейных операторов. Тихомиров В.Г. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

СИСТЕМА ОБОЗНАЧЕНИЙ И СТРУКТУРА ИЗДАНИЯ
Часто встречающиеся в тексте термины заменены сокращениями: линейное пространство – ЛП, кроме то-
го, буква V будет обозначать произвольное ЛП; линейно зависимая – ЛЗ; линейно независимая – ЛНЗ; система
векторов – СВ; система линейных (алгебраических) уравнений – СЛАУ. Помимо этого, слова «Условие», «Дей-
ствие», «Замечание», «Пример» заменяются первой буквой соответствующего слова с нумерацией, например,
У2 будем читать как условие 2 или второе условие, или П2.6 будет означать пример 6 из § 2. Особо отметим
П1.1 – 1.6, поскольку они рассматриваются на протяжении всего изложения – целесообразно их запомнить.
Представленный материал состоит из параграфов, каждый из которых посвящён типовой задаче, отражён-
ной в его названии. Параграф, как правило, состоит из двух частей: в первой даётся схема решения определён-
ной типовой задачи, а во второй – эта схема применятся к конкретным задачам. Отметим, что если хотя бы од-
но из условий данной схемы не выполняется, то выполнять дальнейшие действия или проверять последующие
условия нецелесообразно – следует остановиться и дать отрицательный ответ на вопрос, поставленный в соот-
ветствующей типовой задаче. Кроме того, некоторые действия (условия) взаимно пересекаются или достаточно
просты, поэтому решения, их содержащие не дробятся по пунктам Д1, Д2, Д3, … В остальных случаях такое
дробление присутствует.
1. ЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР
Пусть V и W – некоторые линейные пространства,
Λ
оператор, действующий из V в W . Для того, что-
бы проверить является ли оператор
L линейным достаточно установить выполнимость двух условий:
У1.
Vyx ∈∀ , имеет место равенство ()= .
x
yxy
+
+LLL
У2.
Ρ∈α∀∈∀ ,Vx имеет место равенство .=)( xx
Λ
Λ
α
α
Установить, является ли оператор линейным.
1. Нулевой оператор для любого
Vx ∈ определим равенством
θ
=x
Ο
.
У1. yxyx ΟΟΟ+θ+θθ+ ===)( . Выполняется.
У2. Пусть ,Ρ∈α тогда xx
Ο
Ο
α
αθθα ===)( . Выполняется.
Оба условия выполняются, значит, нулевой оператор линейный.
2. Тождественный оператор для любого
Vx
∈
зададим так: .= xx
Ε
У1. .==)( yxyxyx ΕΕΕ
+
++ Выполняется.
У2. ,Ρ∈α тогда xxx ΕΕααα ==)( . Выполняется.
Оба условия выполняются, значит, тождественный оператор линейный.
3. Оператор подобия для любого
Vx ∈ определим так: ,= xx
β
Α
где β – некоторое фиксированное число.
4. Для любого
nn
PxP ∈)( положим )(=)( xPxP
nn
∆ .
5. Обозначим
.=,=
22
2221
1211
2221
1211
×
∈
M
bb
bb
y
aa
aa
x Рассмотрим оператор .=
2212
2111
aa
aa
x
Α
У1. ===)(
22221212
21211111
22222121
12121111
++
++
++
++
+
baba
baba
baba
baba
yx
ΑΑ
11 21 11 21
12 22 12 22
==.
aa bb
x
y
aa bb

++


AA
Выполняется.
У2. .===)(
2212
2111
2212
2111
x
aa
aa
aa
aa
x ΑΑα
α
αα
αα
α
Выполняется.
Оба условия выполняются, значит, данный оператор линейный.
6. Оператор поворота вектора
2
x ∈R на угол
α
.
7. В
3
R для любого
123
=( , , )
x
xx x задан оператор )2,,42(=
313321
xxxxxxx
+
−
+
−
Α
.
У1. Пусть ),,,(=
321
yyyy тогда
112 23 3
=( , , ),
x
yxyxyxy
+
+++ т.е.
11 22 3333 11 33
()=( 2( )4( ), ,2( ) )
x
yxy xy xyxy xyxy++−++++−+++A .
С другой стороны,
123313
=( 2 4 , , 2 ),yy y yy yy
−
+−+A т.е.
123313 1 2 3313
=( 2 4 , , 2 ) ( 2 4 , , 2 )=xyxx xx xx yy yy yy+−+−++−+−+AA
11 2 2 3 333 1 133
(22)44,,22 )=xy x y x yxy x yxy=+− − + + +−− ++
11 22 3333 11 33
(2()4(),,2() )
x
yxy xyxyxyxy=+− ++ + +− +++.
Таким образом,
()=
x
yxy++AAA. Выполняется.
У2. =)2,,42(=),,(=)(
313321321
xxxxxxxxxx
α
+
α
−
α
α
+
α−α
α
αααΑΑ
xxxxxxx
Α
α
+−
+
−α= =)2,,42(
313321
. Выполняется.
Оба условия выполняются, значит, данный оператор линейный.
8. Зафиксируем
Va ∈ . Определим
x
V∀∈ оператор сдвига axx
+
=
Α
.

Страницы