Элементы теории линейных операторов. Тихомиров В.Г. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

У1. С одной стороны, ,=)( ayxyx
+
++
Α
с другой .2== ayxayaxyx ++
+
+
+
+
Α
Α
Значит 1 условие
не выполняется и оператор сдвига не является линейным.
9. В
3
R для любого ),,(=
321
xxxx задан оператор
2
13 2
=( , , 3 )
x
xx x−A.
У1. Пусть
123
=( , , ),yyyy тогда
.)33,,2(=))3(,,)((=
2233
2
111
2
12233
2
11
yxyxyyxxyxyxyxyx −−++++−+++
С другой стороны,
22
1133 2 2
=( , , 3 3 )
x
yxyxy x y+++−−AA . Таким образом, yxyx ΑΑ
Α
+
≠
+
)( – не выполняется,
значит, данный оператор не является линейным.
10. В
3
R для любого ),,(=
321
xxxx задан оператор
12312313
=( 6 4 , 4 2 ,2 )
x
xx xxx xxx
−
−− −−− −A .
2. МАТРИЧНАЯ ЗАПИСЬ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА
Чтобы найти матрицу линейного оператора VV a:
Α
относительно фиксированного базиса B выполним
следующие действия:
Д1. Подействуем на каждый из векторов базиса B оператором A .
Д2. Полученные в результате векторы разложим по базису B .
Д3. Записав координаты каждого из полученных векторов в матрицу как столбцы, будем иметь матрицу
данного линейного оператора.
Для каждого линейного оператора
П1.1 – П1.7 записать его матрицу.
1. Пусть
},,{=
1 n
eeB K – произвольный базис в V . Далее выполняем
Д1. θθ =,,=
1 n
ee ΟΟ K .
Д2. 0====
111 nnn
aaeaea KK ⇒++θ .
Д3.
00
=
00
O




K
MMM
K
2. Пусть
},,{=
1 n
eeB K – произвольный базис в V . Далее выполняем:
Д1.
nn
eeee =,,=
11
ΕΕ K .
Д2. .100=,,001=
21211 nnn
eeeeeeee
⋅
+
+
⋅
+
⋅
⋅
+
+⋅+⋅ KKK
Д3.
10 0
01 0
=
00 1
E





K
K
MMMM
K
.
3. Выберите произвольный базис
},,{=
1 n
eeB K .
4. а) Пусть ={1, , , }
n
n
Bxx∈K P. Далее выполняем
Д1.
1
=,1,=0,=1
−nn
nxxx ∆∆∆ K .
Д2.
.=,,=,1=0
0=
1
1
0=
0
0=
k
nk
n
k
nk
k
n
k
k
k
n
k
xanxxaxa
∑∑∑
−
K
С учётом определения равенства многочленов из записанного будем иметь:
;0=0,=,0,=0,=
010,0100 nn
aaaa
−
K
;0=0,=,0,=1,=
111,1110 nn
aaaa
−
K
;0=0,=,2,=0,=
212,2120 nn
aaaa
−
K
M
01 1,
= 0, = 0, , = , = 0.
nn nnnn
aa ana
−
K
Д3. Записываем матрицу оператора: строки в записи выше становятся столбцами
010 0
002 0
.
000
000 0
n






K
K
MMMKM
K
K
б) Пусть
2
2
={3, 1, 2 5}Bxxx P−++∈.
Замечание. Любое конечномерное линейное пространство изоморфно пространству
n
R , соответственно,
между прообразом и образом линейного оператора можно поставить изоморфные элементы и выполнять пре-
образования для них, вернувшись затем к исходным пространствам.

Страницы