Элементы теории линейных операторов. Тихомиров В.Г. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Д1. Сделав чертёж, легко сообразить, что ),sin,cos(=
1
α
α
e
Α
)cos,sin(=
2
α
α
−
e
Α
.
Д2. =)cos,sin((0,1),(1,0)=)sin,cos(
1211
α
α
−+αα aa
+
(1,0)
21
a
⇔
(0,1)
22
a
⇔
,),(=)cos,sin(),,(=)sin,cos(
22211211
aaaa αα−αα откуда
α
α
−
α
α cos=,sin=;sin=,cos=
22211211
aaaa .
Д3. Матрица оператора будет
(
)
αα
α−α
cossin
sincos
.
7. а) Пусть
123
= { = (1, 2,3), = (1, 0,1), = (0, 2, 1)}Be e e
−
− .
Д1. (9,3,1);=3)123,3,422(1=(1,2,3)=
1
+
⋅
−⋅+⋅
−
AeΑ
1);(5,1,=1)121,1,402(1=(1,0,1)=
2
−
+
⋅
−⋅+⋅
−
AeΑ
3
= (0, 2, 1) = (0 2 ( 2) 4 ( 1), 1, 2 0 1) = (0, 1, 1).eA−− −⋅−+⋅− −−⋅− −−A
Д2.
;1)2,(0,(1,0,1)(1,2,3)=1)1,(0,
;1)2,(0,(1,0,1)(1,2,3)=1)(5,1,
;1)2,(0,(1,0,1)(1,2,3)=(9,3,1)
333231
232221
131211
−−++−−
−−++−
−−++
aaa
aaa
aaa
−⋅−⋅+⋅
⋅−⋅+⋅
⋅+⋅+⋅
⋅−⋅+⋅
⋅−⋅+⋅
⋅+⋅+⋅
;1=113
;1=202
;5=011
;1=113
;3=202
;9=011
232221
232221
232221
131211
131211
131211
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
−⋅−⋅+⋅
−⋅−⋅+⋅
⋅+⋅+⋅
.1=113
;1=202
;0=011
333231
333231
333231
aaa
aaa
aaa
110950 110 9 50 110 9 50
202311 02215 91 0221591
311111 02126161 0011170


− − −−− −− −−− −−

− −− −−−−− −−

:::
110 9 50 20019131 10019/213/21/2
02037231 02037231 01037/223/21/2.
00111 70 00111 70 001 11 7 0
−−−−−−

− −−− − −−−

−− −− − −

:::
Д3.
19 / 2 13/ 2 1/ 2
=37/223/21/2.
11 7 0
A
−−−



−−

б) Выбран канонический базис
123
= { = (1,0, 0), = (0,1, 0), = (0, 0,1)}Be e e .
Д1.
1
= (1, 0, 0) = (1 2 0 4 0,0, 2 1 0) = (1, 0, 2);eA
−
⋅+⋅ −⋅+ −A
2
= (0,1,0) = (0 2 1 4 0, 0, 2 0 0) = ( 2, 0,0);eA
−
⋅+ ⋅ −⋅ + −A
3
= (0, 0,1) = (0 2 0 4 1,1, 2 0 1) = (4,1,1).eA
⋅+⋅ −⋅+A
Д2.
.(0,0,1)(0,1,0)(1,0,0)=(4,1,1)
;(0,0,1)(0,1,0)(1,0,0)=2,0,0)(
;(0,0,1)(0,1,0)(1,0,0)=2)(1,0,
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
++
++−
++−
⋅+⋅+⋅
⋅+⋅+⋅
−⋅+⋅+⋅
−⋅+⋅+⋅
⋅+⋅+⋅
⋅+⋅+⋅
;0=100
;0=010
;2=001
;2=100
;0=010
;1=001
232221
232221
232221
131211
131211
131211
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
⋅+⋅+⋅
⋅+⋅+⋅
⋅+⋅+⋅
1=100
;1=010
;4=001
333231
333231
333231
aaa
aaa
aaa
или в матричном виде
100 1 24
010 0 01.
001 2 01
−


−

Д3.
124
=001.
201
B
−



−

в) Пусть
12 3
= { = (1,0, 0), = ( 1, 1,0), = (3, 2,1)}Be e e−− .
8. Для оператора
A из задания П1.10 построить матрицу в каноническом базисе.
Ответ:
164
=142.
201
A
−−−


−−−

−


Страницы