Элементы теории линейных операторов. Тихомиров В.Г. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

3. ПОДОБНЫЕ МАТРИЦЫ
Для того, чтобы найти матрицу
A
′
линейного оператора
A
в новом базисе, зная матрицу
A
этого
оператора в старом базисе, выполняем следующие действия:
Д1. Находим матрицу перехода B от старого базиса к новому.
Д2. Вычисляем матрицу
1
B
−
.
Д3. Последовательно перемножая
1
BAB
−
⋅⋅, получим
A
′
.
В линейном пространстве
V задан линейный оператор
A
своей матрицей
A
в базисе B . Найти
матрицу
A
′
этого оператора в базисе B
′
.
1.
404
=131
331
A
−−


−−

−−

;
123
={ , , }Beee;
1132 133 123
={ = , =3 2, =2 }.Be eee eee eee
′′ ′
′
−
−−− −++
Д1. Записав систему векторных уравнений, связывающих векторы нового базиса с векторами старого
базиса, будем иметь:
⋅+⋅+⋅−
⋅−⋅+⋅−
⋅−⋅+⋅−
′
′
′
.112=
;203=
;101=
3213
3212
3211
eeee
eeee
eeee
По определению матрицы перехода, её
i -й столбец состоит из коэффициентов в i -ом уравнении, т.е.
.
121
100
231
=
−−
−−−
B
Д2. Находим обратную матрицу, например, так:
::::
−
−−−
−
−−−
−−
−−−
010
101
001
100
310
231
101
010
001
310
100
231
100
010
001
121
100
231
)|( EB
.)|(
010
131
372
100
010
001
010
131
372
100
010
001
010
131
021
100
010
031
1−
−−
−
−−
−−
−
−−
−−
BE::::
Таким образом,
−−
−
−
010
131
372
=
1
B .
Д3. Последовательно перемножаем
=
133
131
404
010
131
372
=
1
−−
−−
−−
⋅
−−
−
−
AB
=
−⋅+−⋅+−⋅−⋅+−⋅+⋅⋅+⋅+−⋅
−⋅+−⋅−−⋅−−⋅+−⋅−⋅−⋅+⋅−−⋅−
−⋅−−⋅+−⋅−⋅−−⋅+⋅⋅−⋅+−⋅
1)(01)(14)(03)(03)(10030114)(0
1)(11)(34)(13)(13)(30131134)(1
1)(31)(74)(23)(33)(70233174)(2
=
=
121
100
231
131
664
121210
=)(=;
131
664
121210
=
1
−−
−−−
⋅
−−
−−−
⋅⋅
′
−−
−−−
−
BABA
10 ( 1) 12 0 12 ( 1) 10 ( 3) 12 0 12 ( 2) 10 ( 2) 12 1 12 1
= 4(1) 60 6(1) 4(3) 60 6(2) 4(2) 61 61=
1( 1) 30 1( 1) 1( 3) 30 1( 2) 1( 2) 31 11
−⋅−−⋅−⋅− −⋅−−⋅−⋅− −⋅−−⋅−⋅


⋅− + ⋅ + ⋅− ⋅− + ⋅ + ⋅− ⋅− + ⋅ + ⋅

⋅− − ⋅ −⋅− ⋅− − ⋅ −⋅− ⋅− − ⋅ −⋅

22 54 4
=10244.
016
−


−−

−−

2.
413
011
12 0
−−−


−


;
123
={ , , }Beee;
1232133 123
={ ' = 3 , ' = , ' = 3 }.Be eee eee eee
′
−+ −− − − +
3.
788
=878
243
A
−−


−

−−

; = {(1, 2, 3), (1, 0,1),(0, 2, 1)}B
−
− ;
={(1,0,0),( 1, 1,0),(3,2,1)}B
′
−
− .
Д1. См. П5.2 из [4]:
11,53
=22,56.
124
B
−−

−


−−

Д2. Можно показать, что
1
40 3
=420.
31 1
B
−
−



−


Страницы