Элементы теории линейных операторов. Тихомиров В.Г. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

.
0,51,51,50
0100
0,50,50,50
0001
=
000
000
000
000
0,51,51,50
0100
0,50,50,50
0001
=
λ−−
λ−−
−λ−
λ−
=
λ
λ
λ
λ
−
−
−
−
λ− EA
Д3.
Вычисляем определитель:
=
λ−−
λ−−
−λ−
−λ−
λ−−
λ−−
−λ−
λ−
+
0,51,51,5
010
0,50,50,5
)1()(1=
0,51,51,50
0100
0,50,50,50
0001
11
×λ+λ−−
λ−−
λ
−
⋅−⋅λ−−⋅λ−
+
))(1(1=
0,51,5
0,50,5
)1()1()(1=
22
=0,75))(0,25)()(1(1=1,5)0,5)0,5)(((0,5
2
−λ−−λ+λ−−⋅−λ−−λ−×
.1)(=)1)()(1(1
222
−λλ+−λ+λ−−=
Д4.
Таким образом, характеристический многочлен будет иметь вид:
1.2=1)(=)(
422
+λ−λ−λλP
6. Оператор поворота.
Д1. См. матрицу
A
из П2.6.
Д2. Составляем матрицу:
(
)
(
)
(
)
.
cossin
sincos
=
0
0
cossin
sincos
λ−αα
α−λ−α
λ
λ
−
αα
α−α
=λ− EA
Д3. Вычисляем определитель:
=
sin
cos2
cos
=
sin
)cos(=
cossin
sincos
2
2
22
2
α+λ+αλ−αα+λ−α
λ−αα
α−λ−α
1.cos2=
2
+αλ−λ
Д4. Таким образом, 1cos2=)(
2
+λ⋅α−λλP .
7. Построить характеристический многочлен оператора
A
, заданного в некотором базисе матрицей
.
342
878
887
=
−−
−
−−
A
Д2. Составляем матрицу:
.
342
878
887
=
00
00
00
342
878
887
=
λ−−−
−λ−
−λ−−
λ
λ
λ
−
−−
−
−−
λ−
EA
Д3. Вычисляем определитель:
−⋅−⋅+−⋅−⋅−+λ−⋅λ−⋅λ−−
λ−−−
−λ−
−λ−−
84)(82)(8)(8)()(3)(7)7(=
342
878
887
×−λλ−−⋅−⋅−+λ−⋅−⋅+−⋅λ−⋅− 49)(=))7(8)(4)()(38)(82)()(7(8
2
+λ+λ−−λ−−λ+−λ−−−λ−×
23
3=224)3219264112(16256128)(3
33=528)(4838414749
23
−λ+λ+λ−−λ−−−λ+ .
Д4. Таким образом, 33=)(
23
+λ−λ−λλP .
Заметим, что процесс построения характеристического многочлена можно оптимизировать, зная, что ко-
эффициенты многочлена
|=|)(
~
EAP λ−λ
при степенях
01
,, λλλ
−nn
, соответственно, равны
,)(det,tr,1)( AA
n
−
т.е.
для данного оператора
+γλ+λ+λ−λ
23
3=)(
~
P 3.3=224)192112256128147(
23
−γλ+λ+λ−+++−−−+ Осталось
найти неизвестное
,γ что можно сделать, решив линейное уравнение ),(det=)(
~
EAP λ−λ взяв некоторое 0,
≠
λ
например 7:
⇐⇒
−−−
−
−−
−γ++−⇐⇒−
442
808
8814
=37147343)7(det=(7)
~
EAP
1.=7=7448256256128=7199
γ
⇒
γ
⇐
⇒+−−−
γ
+−⇐⇒
Таким образом,
3.3=)(
~
23
−λ+λ+λ−λP

Страницы