Элементы теории линейных операторов. Тихомиров В.Г. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

5. СПЕКТР ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА
Для того, чтобы найти спектр линейного оператора
A
выполняем следующие действия:
Д1. Находим характеристический многочлен )(
λ
P данного оператора.
Д2. Решаем характеристическое уравнение 0=)(
λ
P .
Д3. Записываем множество корней характеристического уравнения – они образуют спектр.
Найти спектр каждого из операторов
П4.1 – П4.7.
1. Нулевой оператор.
Д1.
n
P λλ =)( .
Д2. 0=0= λ⇒λ
n
.
Д3. {0}=)(Ασ .
2. Единичный оператор.
Д1.
nn
P )(11)(=)( λ−−λ
.
Д2. 1=0=)(11)( λ⇒λ−−
nn
.
Д3. {1}=)(Ασ .
5.
Д1. ))(1)(1(1=)(
2
λ+λ+λ−−λP .
Д2. 1=1,=0=1)(
4,32,1
2
−λλ⇒−λ .
Д3. 1}{1,=)( −σΑ .
6. Оператор поворота.
Д1. 1cos2=)(
2
+λ⋅α−λλP .
Д2.
,|sin=|
sin
=1
cos
=
4
0=1cos2
22
2
i
D
αα−−α⇒+λ⋅α−λ
α±
α±αλ
i
ei =sincos=
1,2
.
Д3. },{=)(
αα−
σ
ii
eeA .
7.
Д1. 33=)(
23
+λ−λ−λλP .
Д2. −−λλ⇔−λ−λ−λ⇔+λ−λ−λ 1)(0=1)3()(0=33
22323
⇔−λ− 0=1)3(
2
⇒−λ−λ+λ⇔−λ−λ 0=3)1)(1)((0=3)1)((
2
3=1,=1,=
321
λ
λ−λ⇒ .
Д3. 3}1,1,{=)( −σ A .
Заметим, что в силу основной теоремы алгебры, уравнение вида
0=)(
λ
n
P всегда имеет (с учётом кратно-
стей) n корней, вообще говоря, комплексных. Однако для их точного нахождения в случае
>4n не существу-
ет универсального метода. В случае
3,4=n такие методы существуют. Рассмотрим, например, метод Кардано
для решения кубических уравнений.
Решение кубического уравнения
32
2
1
3
aaa +λ+λ+λ
в общем случае состоит из нескольких шагов:
1. С помощью замены
3
=
1
a
x −λ
данное уравнение приводится к виду 0=
3
qpxx ++ (неполное кубиче-
ское уравнение).
2. Решаем получившееся неполное уравнение. В наиболее общем случае его корни могут быть найдены по
формулам Кардано:
,=;=;=
2
3
2
21
ω+ωω+ω+ vuxvuxvux
где u и v – такие значения кубических корней из
2742
32
pqq
++− и
2742
32
pqq
+−− , что
3
=
p
uv −
, а
.
2
3
2
1
= i+−ω
3. Осуществляется возврат к прежним обозначениям:
.
3
=
1
a
x
ii
−λ
Однако применение указанных формул на практике не всегда приводит к адекватному ответу. Например,
решение уравнения
0=524
23
−λ−λ+λ по формулам Кардано даже после длительных преобразований не уда-

Страницы