Элементы теории линейных операторов. Тихомиров В.Г. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

2
2
13113119
= = = 0,325.
416720180
12 5


++≈





6. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА
Для того, чтобы найти собственные векторы линейного оператора
A
, заданного в векторном пространстве
V , выполним следующие действия:
Д1. Построим матрицу данного оператора в каком-либо базисе.
Д2. Найдём спектр оператора A.
Д3. Решим каждую из систем уравнений ,=
θ
λ
−
EA
i
где )(A
i
σ
∈
λ
.
Д4. Множество решений каждой из систем Д3 представляет собой подпространство из .V Выбрав из каж-
дого подпространства по ненулевому вектору, получим множество собственных векторов, отвечающих собст-
венным значениям данного оператора
A .
Найти собственные векторы линейного оператора из
П5.1 – П5.11.
1. Нулевой оператор.
Д3. Составляем систему уравнений 0
A
E−⋅ :
.=
000
000
000
2
1
θ
⋅
−
−
−
n
x
x
x
M
K
MKMM
K
K
Очевидно, что решением этой системы будет любой набор
),,,(
21 n
rrr K , где Ρ
∈
i
r .
2. Аналогично
П1.
4. Подсказка. Используйте изоморфизм
).,,,,(=)(
011011
aaaaaxaxaxaxP
nnn
n
nn
KaK
−−
++++
5.
Д3. а) Решаем систему θ⋅− =1 EA :
;=
10,51,51,50
01100
0,50,510,50
00011
4
3
2
1
θ
⋅
−−
−−
−−
−
x
x
x
x
⋅−+⋅+⋅
⋅+⋅−⋅+⋅
⋅+⋅−⋅−⋅
⋅+⋅+⋅+⋅
.1,51,51,50
;0=0200
;0=0,50,50,50
;0=0000
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
Первому уравнению удовлетворяют любые наборы
),,,(
4321
xxxx – его можно не принимать в расчёт.
Второе и четвертое уравнения эквивалентны и после упрощения могут быть записаны как одно уравнение
234
=0xxx+− . Из третьего уравнения
3
=0x , т.е. 0,=,=,
3421
xxxx
Ρ
∈
Ρ
∈
4
x . Таким образом, множество
собственных векторов, отвечающих собственному значению
1=
λ
, с учётом возврата к изоморфному простран-
ству, имеет вид
(
)
{}
Ρ∈vu
v
vu
,|
0
.
б) Решаем систему
θ
⋅
+ =1 EA :
,=
10,51,51,50
01100
0,50,510,50
00011
4
3
2
1
θ
⋅
+−
+−
−+
+
x
x
x
x
⋅++⋅+⋅
⋅+⋅+⋅+⋅
⋅+⋅−⋅+⋅
⋅+⋅+⋅+⋅
.0,51,51,50
;0=0000
;0=0,50,51,50
;0=0002
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
Из первого уравнения
0
1
=x . Третьему уравнению удовлетворяют любые наборы ),,,(
4321
xxxx – его
можно не принимать в расчёт. Второе и четвёртое уравнения при вычитании дадут
0
3
=x , при этом четвёртое
уравнение примет вид
24
1,5 0,5 = 0xx
, т.е.
12 34 2
=0, , =0, = 3
x
xxxx
∈
−R . Таким образом, множество собст-

Страницы