Элементы теории линейных операторов. Тихомиров В.Г. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

венных векторов, отвечающих собственному значению
1=
−
λ
, с учётом возврата к изоморфному пространству,
имеет вид
(
){}
Ρ∈
−
u
u
u
|
30
0
.
6.
Д3.
1) Решаем систему
θ−
α
=)( xEeA
i
:
;=
)sincos(cossin
sin)sincos(cos
2
1
θ
α+α−αα
α−α+α−α
x
x
i
i
.=
0=
0=
0=)sin()sin(
0=)sin()sin(
21
21
21
21
21
ixx
ixx
xix
xix
xxi
⇒
−
−−
⇒
α−α
α−α−
Выберем какой-либо (ненулевой) собственный вектор, отвечающий собственному значению
α+αλ
α
sincos==
1
ie
i
, положив, например,
2
=1x . Тогда
1
=1
x
i
⋅
и 1),(i – искомый вектор.
2) Аналогично при
i
e
α−
λ =
2
получим собственный вектор )(1, i .
7.
Д3. Для каждого из найденных собственных значений
λ
рассмотрим систему линейных уравнений
,=)( Θλ− xEA где ),,,(=
321
xxxx а = (0,0,0) :Θ
1)
::
−−
−
−−
−−
−
−−
λ−⇒−λ
221
111
443
442
888
886
=1= EA
.
000
110
111
110
110
111
221
443
111
−
−
−
−
−
−−
−−
−
:::
Приведённые преобразования позволяют записать
3232
=0= xxxx ⇒
+
−
– из второй строки. Кроме того,
из первой строки
,=0=
231321
xxxxxx −⇒−+ откуда с учётом найденного ранее 0.==
331
xxx − Таким об-
разом, собственные векторы, отвечающие собственному значению
1=
−
λ
имеют вид 0}.\|),{(0, Ρ∈ttt По-
ложим
=1t , тогда получим собственный вектор 1)1,(0, .
2)
::
−−
−
−−
−−
−
−−
λ−⇒λ
121
434
111
242
868
888
=1=
EA
.
000
010
111
010
010
111
−
−
−
−
−
−−
::
Исходя из найденного, записываем
0.=0=
22
xx ⇒
−
Затем .=0=
231321
xxxxxx −⇒
+
−
−
Так как
2
=0,x то
13
=.
x
x Значит, соответствующие собственные векторы имеют вид 0}.\|)0,,{ Ρ∈ttt Пусть 1,=t
тогда находим собственный вектор
1).0,(1,
3)
::
−
−−
−−
−
−−
λ−⇒λ
021
212
445
042
848
8810
=3= EA
.
000
230
021
230
230
021
230
460
021
−−
−−
:::
В итоге,
.
3
2
=0=23
3232
xxxx −⇒+ Далее .
3
4
=0=2
3121
xxxx ⇒+ Откуда получаем собственные векто-
ры
.0\|),
3
2
,
3
4
∈−Ρ
tttt Положив =3,t будем иметь 3).2,(4,
−
11.
Д3.
а) 1) Решим систему
θ
+
=)3( xEA :
(
)
;=
3210
237
2
1
θ
+
−+−
х
х
.
2=
=
0=2
0=2
0=510
0=24
12
11
21
21
21
21
−
⇔
+
+
⇔
+
−−
xx
xx
xx
xx
xx
xx
Таким образом, множество собственных векторов, отвечающих собственному значению
3−=λ , имеет вид
}|)2,{( Ρ∈− uuu . Положим, например, 1=u , тогда будем иметь собственный вектор (1, 2)− .
2)Решим систему
θ=+ xEA )2( :

Страницы