Элементы теории линейных операторов. Тихомиров В.Г. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

(
)
;=
2210
227
2
1
θ
+
−+−
x
x
.
2
5
=
=
0=25
0=25
0=410
0=25
12
11
21
21
21
21
−
⇔
+
+
⇔
+
−−
xx
xx
xx
xx
xx
xx
Таким образом, множество собственных векторов, отвечающих собственному значению
2= −λ , имеет вид
∈
−Ρ
uuu |
2
5
,
. Положим, например, =2u , тогда будем иметь собственный вектор 5)(2, − .
б) Подсказка: для
1=λ один из собственных векторов будет 5)(4, ; для 1=
−
λ
один из собственных век-
торов будет
3)(4, .
7. ВЫЧИСЛЕНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ СТЕПЕНЕЙ МАТРИЦЫ
Пусть
A
– матрица диагонализируемого линейного оператора A в некотором базисе, n ∈
N
, тогда для
нахождения
n
A
выполняем действия:
Д1. Находим матрицу перехода B , записываем попутно матрицу
n
Λ
.
Д2. Вычисляем матрицу
1
B
−
.
Д3. Выполняем умножение
1n
BB
−
⋅Λ ⋅ . Это и есть искомая матрица
n
A
.
Вычислить
n
A
.
1.
=5n ,
A
см. П.4.11 а).
Д1. Матрица B состоит из собственных векторов оператора
A
, записанных как столбцы. В свою очередь,
матрица
n
Λ – диагональная, на диагонали находятся значения
i
λ
порядке, соответствующем порядку собст-
венных векторов. То есть для данной матрицы (см.
П6.11 а)).
(
)
(
)
.
320
0243
=
2)(0
03)(
=,
52
21
=
5
5
5
−
−
−
−
Λ
−−
B
Д2. Матрицу
1
B
−
находим каким-либо способом, например, через алгебраические дополнения:
(
)
(
)
12
25
=
12
25
||
1
=
1
−−
−−
−
B
B
.
Д3. Последовательно умножаем:
(
)
(
)
(
)
;
160486
64243
=
320
0243
52
21
=
5 −−
−
−
⋅
−−
ΛB
(
)
(
)
(
)
51
243 64 5 2 1087 422
() = = .
486 160 2 1 2110 812
BB
−
−− − −
Λ⋅ ⋅
−−
2.
4=n , матрицу
см. в П4.7.
Д1. См. П4.7 и П5.7.
.
8100
010
001
=
300
010
001)(
=;
311
201
410
=
4
4
4
4
−
Λ
−B
Д2. Каким-либо методом находим:
1
212
=544.
111
B
−
−−


−

−−

Д3. Последовательно умножаем:
;
24311
16201
32410
=
8100
010
001
311
201
410
=
4
−
⋅
−ΛB
41
0 1 324 2 1 2 319 320 320
( ) = 1 0 162 5 4 4 = 160 161 160 .
1 1 243 1 1 1 240 240 241
BB
−
−− − −


Λ⋅ − ⋅ − −

−− −

3.
=3n , см. П.4.10.
Ответ:
10 37 37
13 210 85 .
87 109 16
−−


−− −

−

4.
=100n , см. П4.11 б).
Ответ:
E .

Страницы