ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
8. ПРИБЛИЖЁННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
Пусть
A
– квадратная матрица, такая, что какая-либо из || ||< 1A , тогда для нахождения приближённой
матрицы
1
()EA
−
− выполняем следующие действия:
Д1. Фиксируем натуральное число n .
Д2. Последовательно находим =,,=,=,=
210 n
AAAAAAAE K⋅
A
A
n
⋅
=
−1
.
Д3. Складываем полученные матрицы и упрощаем сумму.
Найти приближённое значение
1
()EA
−
− .
1.
()
1/2 1/3
=.
1/5 1/4
A
Взяв, к примеру,
1<
6
5
=
20
9
,
6
5
max
4
1
5
1
,
3
1
2
1
max||||
=
++=A , делаем вывод, что разложение
1
()EA
−
−
возможно, и далее находим:
Д1. Пусть 2=n .
Д2.
(
)
=
4
1
5
1
3
1
2
1
4
1
5
1
3
1
2
1
=,
4
1
5
1
3
1
2
1
=,
10
01
=
21
⋅
AAE
11 1111 11 19 1
22 3523 34 60 4
==.
11 1111 11 3 31
52 4553 44 20240
⋅+⋅ ⋅+⋅
⋅+⋅ ⋅+⋅
Д3.
()
1
11 19 1 109 7
10
23 60 4 60 12
() = .
0 1 1 1 3 31 7 331
5 4 20 240 20 240
EA
−
−≈ + +
Замечание. Более точным условием разложения матрицы
1
()EA
−
−
в ряд является
1<)(Aρ , однако проще
вычислить
|| ||
A
и с учётом неравенства ||||)( AA
≤
ρ при || ||< 1A автоматически получается
||<||)( AAρ
.
2.
=2n , см. П4.11 в).
Ответ:
73 1
90 10
.
1131
8180
−
Замечание. Понятно, что чем больше матрица
A
, тем целесообразнее использование рассматриваемого
метода, необходимо лишь следить за выполнением условия
|| ||< 1A .
Пусть
V – линейное (конечномерное) нормированное пространство, на котором задан линейный оператор
.A
Пусть
A
– матрица оператора
A
в некотором базисе. Тогда для приближённого вычисления матрицы
A
e
можно воспользоваться определением
.
!
1
=
0=
k
k
A
A
k
e
∑
∞
Приближённые вычисления предполагают, что
,
!
1
0=
k
n
k
A
A
k
e
∑
≈
где n – заданное натуральное число. Таким образом, для приближённого вычисления экспоненты последова-
тельно выполняем:
Д1. Фиксируем число n .
Д2. Находим
n
AAEA ,,,=
10
K
.
Д3. Умножаем каждое из
k
A
на
1
!k
и складываем получившиеся матрицы.
Найти приближенное значение
A
e
.
3.
()
10
=
11
A
−
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- …
- следующая ›
- последняя »
