ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Д2. .
!
1
!
0
!
1
=
!
1
0
!
1
=
0=0=
0=
0=
−
−
∑∑
∑
∑
∞∞
∞
∞
kk
k
k
kk
k
k
e
kk
k
k
A
Д3. Напомним, что для любого числа
x
имеет место разложение ,
!
1
=
0=
k
k
x
x
k
e
∑
∞
откуда, в частности,
.
!
1
=1
!
1
=
0=0=
1
kk
e
k
k
k
∑∑
∞∞
⋅
Кроме того, заметив, что
K3,2,=k∀ имеет место ,
1)!(
1
=
! −kk
k
можно записать:
.=
!
1
=
!
1
1=
1)!(
1
10=
!
1
0=1=2=0=
e
mmkk
k
mmkk
∑∑∑∑
∞∞∞∞
+
−
++
Таким образом,
(
)
.
0
=
ee
e
e
A
−
2.
(
)
.
01
10
=
−
A
Ответ: см. П10.2.
3.
100
=020.
003
A
Ответ:
1
2
3
00
00.
00
e
e
e
10. ВЫЧИСЛЕНИЕ ЭКСПОНЕНТЫ ЧЕРЕЗ СПЕКТР
Пусть A – диагонализируемый оператор с простым спектром. Для того, чтобы найти ,
A
e где
A
– матри-
ца оператора
A
в некотором базисе достаточно выполнить следующие действия:
Д1. Найти спектр оператора A.
Д2. Составить интерполяционный многочлен Лагранжа:
,=)(
1
0=
ji
j
ji
i
n
i
eP
λ−λ
λ−λ
λ
∏
∑
≠
λ
−
где
i
λ
– собственные числа оператора
A
; значение
n
равно порядку матрицы
A
; переменная λ – независи-
мая. Сгруппировать полученное выражение в порядке возрастания степеней переменной
λ .
Д3. Вычислить степени
k
A
для всех 1,1,0,=
−
nk K .
Д4. В преобразованный многочлен Лагранжа вместо
k
λ подставить
k
A
. Полученное выражение (матрицу)
максимально упростить – это и будет искомая экспонента.
Вычислить экспоненту через спектр.
1.
(
)
11
01
=
−
A
.
Д1. Характеристическое уравнение будет:
1.=0=12
1,2
2
λ⇔+λ−λ
Таким образом
{1}=)(Ασ , т.е. спектр не является простым и дальнейшие действия Д2. – Д4. не приведут
к желательному результату. Отметим, что несмотря на это, экспонента всё же может быть найдена через спектр
при помощи жордановой матрицы и некоторой модификации приведенной схемы
Д1. – Д4.
2.
()
01
=.
10
A
−
Д1. Характеристическое уравнение будет:
.=0=10
1,2
2
i±λ⇔+λ⋅+λ
Таким образом
},{=)( ii
−
σΑ , следовательно, оператор A диагонализируем.
Д2. Составляем интерполяционный многочлен Лагранжа:
.
)(
)(
=)(
01
0
1
10
1
0
λ−λ
λ−λ
+
λ−λ
λ−λ
λ
λλ
e
e
P
