Элементы теории линейных операторов. Тихомиров В.Г. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

стся свести к виду
+−−−−
2
29
2
3
,
2
29
2
3
1,
. Но в некоторых случаях задача нахождения корней алгебраи-
ческого уравнения упрощается, если заранее что-то известно об его корнях. Например, если среди корней есть
целые, то они содержатся среди делителей свободного члена.
8. Решить кубическое уравнение
0=524
23
−λ−λ+λ в предположении, что среди его корней есть целые.
Свободным членом рассматриваемого многочлена является число
5
−
, поэтому корни ищем среди чисел
51, ±±
.
32
(1) = 1 4 1 2 1 5 = 1 4 2 5 = 2 0,P +⋅ −⋅− +−− −≠
32
(1)=(1) 4(1) 2(1) 5= 1 4 2 5=0.P −−+⋅−−⋅−−−++−
Таким образом, число
1=
1
−
λ
является корнем рассматриваемого многочлена.
Для нахождения оставшихся корней поделим данный многочлен (столбиком) на
,
1
λ−λ в результате чего,
будем иметь
5)31)((=)(
2
−λ+λ+λλP
.
Решаем квадратное уравнение
0=53
2
−λ+λ .
.
2
293
=29,=209=
2,3
±−
λ+D
В итоге, получили следующие корни данного кубического уравнения:
.
2
29
2
3
,
2
29
2
3
1,
+−−−−
Найти спектр линейного оператора
П4.9, П4.10 в предположении, что среди корней характеристическо-
го уравнения есть, по крайней, мере один целый корень.
9. Так как целые корни многочлена содержатся среди делителей свободного члена, то для нахождения од-
ного из корней достаточно проверить числа
63,2,1,
±
±
±
±
. Из записи данного многочлена понятно, что если
>0,x то
()>0,Px значит корни данного многочлена отрицательные.
Вычисляем:
32
(1)=(1) 6(1) 11(1) 6= 1 6 11 6=0,P −−+⋅−+⋅−+−+−+ значит, число 1=
1
−λ является кор-
нем данного многочлена.
Оставшиеся корни найдём, поделив
)(λP на
1
λ
−
λ
:
6116
23
+λ+λ+λ
)1(−−λ
22
λ+λ
2
λ + λ5 +6
λ+λ 115
2
λ+λ 55
2
66 +λ
66 +λ
0
и решив получившееся квадратное уравнение 065
2
=+λ+λ :
2.=
2
15
=3,=
2
15
=1,=2425=
32
−
+
−
λ−
−
−
λ−D
Таким образом,
2}3,1,{=)( −−−σΑ .
10. Ответ:
3}4,5,{=)( −−−σΑ .
11. Найти спектр и радиус спектра операторов из задания
П4.11 а) – в).
в) Решим характеристическое уравнение:
.
512
31
4
1
=
2
56
31
2
1
=,
180
31
=
180
19
4
4
1
=
1,2
i
i
D ±−
±−
λ−⋅−
=|}||,{|max=)(;
512
31
4
1
,
512
31
4
1
=)(
21
λλρ
+−−−σΑΑ
ii

Страницы