Элементы теории линейных операторов. Тихомиров В.Г. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

5. Пусть
()( )()()
{}
21 01 10 01
=,,,
11 2 3 10 01
B
– фиксированный базис в
22
M
×
. Поставим в соответствие элементу
()
22
ab
M
cd
×
∈ вектор
4
(,,, )abcd ∈ R. Очевидно, что указанное соответствие является изоморфизмом.
Проследим за действиями оператора
A
при этом. Очевидно, что
(
)
(
)
=(,,,).
ab ac
acbd
cd bd
aA Таким об-
разом, можно считать, что
(,,, )=(,,, )abcd acbdA .
Изложенное позволяет сформулировать задание 5 следующим образом: найти матрицу линейного опера-
тора
(,,, )=(,,, )abcd acbdA , выбрав базис = {(2,1,1,1),(0,1, 2,3), (1, 0,1, 0), (0,1,0,1)}B .
Д1. ;(0,2,1,3)=(0,1,2,3)(2,1,1,1),=(2,1,1,1) ΑΑ
(0,0,1,1).=(0,1,0,1)(1,1,0,0),=(1,0,1,0)
Α
Α
Д2. ;(0,1,0,1)(1,0,1,0)(0,1,2,3)(2,1,1,1)=(2,1,1,1)
14131211
aaaa
+
++
;(0,1,0,1)(1,0,1,0)(0,1,2,3)(2,1,1,1)=(0,2,1,3)
24232221
aaaa
+
++
;(0,1,0,1)(1,0,1,0)(0,1,2,3)(2,1,1,1)=(1,1,0,0)
34333231
aaaa
+
++
41 42 43 44
(0,0,1,1) = (2,1,1,1) (0,1, 2,3) (1,0,1, 0) (0,1, 0,1).aa a a+++
Преобразуя первое векторное уравнение с учётом определения операций
,
+
⋅ и = в
4
,R получим систему
линейных уравнений:
⋅+⋅+⋅+⋅
⋅+⋅+⋅+⋅
⋅+⋅+⋅+⋅
⋅+⋅+⋅+⋅
1=1031
;1=0121
;1=1011
;2=0102
14131211
14131211
14131211
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
или в матричном виде:
20102
11011
.
12101
13011





По аналогии для оставшихся векторных уравнений будем иметь:
.
1
1
0
0
1031
0121
1011
0102
;
0
0
1
1
1031
0121
1011
0102
;
3
1
2
0
1031
0121
1011
0102
Заметим, что основные матрицы выписанных систем совпадают. Поэтому целесообразно решать указан-
ные системы совместно:
20102010 11011210
11011210 12101101
12101101 13011301
13011301 20102010





::
11011210 110112 10
011 10 1 11 011 10 1 1 1
0 2 0 0 0 1 11 00 2 2 0 3 1 1
02120410 003 40632


−−− −−−

−− −

−−−− −−−

:: :
11 0 1 11 0 0
12 10
10,5 0,5 0,5
01 1 1 01 1 000,5 0,5 0,5
0111
00 1 0
00 1 1 00 10
01,50,50,5
0 1,5 1,5 0,5
01,51,50,5
00 0 1 00 0 1

−

−
−−

−
−−
−

−
−−
−

:::
1100 1000
10 0 0
1 0,5 0,5 0,5
010000,5 0,5 0,5 0100
0 0,5 0,5 0,5
.
00 1 0
00 1 0
0010 0010
0 1,5 1,5 0,5
0 1,5 1,5 0,5
0001 0001

−

−
−

−
−

−
−

::
Таким образом, матрица данного линейного оператора будет:
1000
00,5 0,5 0,5
.
00 1 0
01,5 1,5 0,5


−

−

−

6. Пусть
2
12
= { = (1,0), = (0,1)}Be e ∈ R .

Страницы