Составители:
Рубрика:
90
углы в основании равнобедренного треугольника AOB. Но тогда угол преломления в точке
B – угол выхода луча из шара – должен быть согласно закону Снеллиуса равен
θ
0.
Применяя аналогичное рассуждение к точке C и дальнейшим точкам пересечения луча с
шаром, приходим к выводу, что всегда угол падения луча изнутри равен
θ
1
, а угол выхода
из шара равен
θ
0
. Тогда в любой точке, так же как в A, изменение направления
относительно падающего (в этой же точке!) под углом
ψ
луча при отражении есть
π
− 2
ψ
,
и только в точке A
0
θ
ψ
=
, а в других точках
1
θ
ψ
=
. При преломлении, в точке A имеем
изменение направления
10
θ
θ
− , но и в остальных точках оно такое же, что очевидно из
рисунка (пунктирная линия в точке B). Угол рассеяния в точке B есть сумма отклонений
при преломлениях в точках A и B:
10
22
θ
θ
θ
−
=
. Направление отражения в B имеет
отклонение
110
2
θ
π
θ
θ
−
+− . Угол рассеяния в точке C – сумма этого отклонения и
10
θ
θ
−
,
то есть
π
θ
θ
+−
10
42 и т. д.
Таким образом, при каждом отражении к направлению отклонения добавляется
1
2
θ
π
− , поэтому после k отражений, считая k = 1, в точке В будем иметь направление
падения )2(
110
θ
π
θ
θ
−
+− k . Прибавляя к нему отклонение при преломлении
10
θ
θ
−
,
окончательно получаем угол рассеяния
10
)1(22
θ
θ
π
θ
+
−
+
= kk .
В этом выражении угол рассеяния
θ
следует еще привести к интервалу [0,
π
], но для
наших целей это не требуется. Учитывая (4.5.4), окончательно получим
00
sin
1
arcsin)1(22
θθπθ
n
kk +−+= (4.5.5)
Мы рассмотрели рассеяние в одной точке A. При падении прямых солнечных лучей
на всю поверхность капли (то есть пучка лучей, параллельных лучу, падающему в A) угол
падения
θ
0
очевидно будет меняться от 0 до
π
/ 2. Таким образом, выражение (4.5.5) есть
функция угла рассеяния от угла падения )(
0
θ
θ
, где 2/0
0
π
θ
≤
≤
. Рассмотрим
производную этой функции
)(
0
0
θ
θ
θ
d
d
. Ее можно трактовать как изменение угла рассеяния
(
θ
d
) при изменении угла падения на
0
θ
d . Если эта производная при определенном угле
падения равна нулю, это означает, что угол рассеяния не меняется при изменении угла
падения на
0
θ
d , то есть все падающие лучи из некоторого интервала направлений
соберутся (сфокусируются) в одном угле рассеяния. Соответственно этот угол должен
отвечать максимуму интенсивности рассеянного света. Дифференцируя (4.5.5), получаем
0
sin
1
1
cos
1
)1(22
0
2
2
0
=
−
+−
θ
θ
n
n
dk ,
2
0
22
0
2
)1(
1
cos1
cos
+
=
+− kn
θ
θ
.
Откуда
)2(
1
cos
2
0
+
−
=
kk
n
θ
. (4.5.6)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 88
- 89
- 90
- 91
- 92
- …
- следующая ›
- последняя »
