ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
24
r
A
называется векторным потенциалом магнитного поля. Векторный
потенциал определен неоднозначно . В рамках магнитостатики принято считать ,
что
div
A
r
=
0
.
Векторный потенциал подчиняется уравнению
∇=−
2
4
r
r
A
c
j
π
,
Интегральный аналог формулы (4.9)
r
r
A
c
jdV
r
V
=
∫
1
.
Задачи
4.1 Найти напряженность магнитного поля внутри и снаружи цилиндрического
проводника , по которому течет ток I, равномерно распределенный по его
сечению. Радиус проводника R.
Решение
Распределение поля обладает симметрией и именно поэтому для решения
задачи может быть полезен закон Ампера для циркуляции, в системе СИ
имеющий вид:
∫∫
=
L
n
L
dsj
c
ldB .
4
π
r
Учитывая цилиндрическую симметрию поля, выберем контур
интегрирования L в виде окружности в плоскости XOY, проходящей через точки
наблюдения Р. Тогда
(
)
∫∫∫
==++=
LL
zzrr
L
rBdlBdlBdlBdlBldB .2
ϕϕϕϕϕ
π
r
По закону Ампера
2
4
π
π
ϕ
rB
c
I=
, следовательно , вне цилиндрического провода
B
I
cr
ϕ
=
2
. Если точка наблюдения Р находится внутри цилиндра, то контур
интегрирования L
i
будет ограничивать часть сечения проводника , через которое
течет ток I
i
:
I
I
R
rI
r
R
i
==
π
π
2
2
2
2
.
По закону Ампера
,
4
2
2
2
R
r
I
c
rB
π
π
ϕ
=
откуда
.
2
2
cR
Ir
B =
ϕ
Составляющие напряженности магнитного
поля B
z
и В
r
равны нулю .
Первое утверждение вытекает из закона Био -
Савара
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
24
r
A на зы ва е тся ве кто р ны м по те нци а ло м ма гни тно го по ля. Ве кто р ны й
по те нциrа л о пр е де ле н не о дно зна ч но . В р а мка х ма гни то ста ти ки пр и нято сч и та ть,
ч то divA = 0 .
Ве кто р ны й по те нци а л по дч и няе тся ур а вне ни ю
r 4π r
∇2 A = − j,
c
И нте гр а льны й а на ло гф о р мулы (4.9)
r
r 1 jdV
A= ∫ .
cV r
Задачи
4.1 На йти на пр яж е нно сть ма гни тно го по ля внутр и и сна р уж и ци ли ндр и ч е ско го
пр о во дни ка , по ко то р о му те ч е т то к I, р а вно ме р но р а спр е де ле нны й по е го
се ч е ни ю. Ра ди ус пр о во дни ка R.
Ре ш е ни е
Ра спр е де ле ни е по ля о б ла да е т си мме тр и е й и и ме нно по это му для р е ш е ни я
за да ч и мо ж е т б ы ть по ле зе н за ко н Ампе р а для ци р куляци и , в си сте ме С И
и ме ю щ и й ви д:
r 4π
∫L = c
Bd l ∫ j ds.
L
n
У ч и ты ва я ци ли ндр и ч е скую си мме тр и ю по ля, вы б е р е м ко нтур
и нте гр и р о ва ни я L в ви де о кр уж но сти в пло ско сти XOY, пр о хо дящ е й ч е р е з то ч ки
на б люде ни я Р. То гда
r
∫ =∫ (Br dl r + Bz dl z + Bϕ dlϕ ) = ∫ Bϕ dlϕ = 2πrBϕ .
L
Bd l
L L
4π
П о за ко ну Ампе р а 2 πrBϕ = I , сле до ва те льно , вне ци ли ндр и ч е ско го пр о во да
c
2I
Bϕ = . Если то ч ка на б люде ни я Р на хо ди тся внутр и ци ли ндр а , то ко нтур
cr
и нте гр и р о ва ни я Li б уде т о гр а ни ч и ва ть ч а сть се ч е ни я пр о во дни ка , ч е р е з ко то р о е
те ч е тто к Ii:
I r2
Ii = πr = I
2
.
πR 2 R2
4π r 2
П о за ко ну Ампе р а 2πrBϕ = I ,
c R2
2 Ir
о ткуда Bϕ = 2
.
cR
С о ста вляющ и е на пр яж е нно сти ма гни тно го
по ля Bz и Вr р а вны нулю.
П е р во е утве р ж де ни е вы те ка е ти з за ко на Би о -
С а ва р а
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
