ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
25
при
[
]
∫
= ,,
11
3
dvrj
r
c
B
z
z
r
r
а так как в нашем случае
[
]
r
r
jr
z
, =0
, то и
.0=
z
B
Для доказательства равенства B
r
= 0 запишем уравнения Максвелла для
постоянного магнитного поля в вакууме
0=Bdiv
в цилиндрической системе
координат.
()
.0
11
=++
zr
B
dz
d
B
d
d
r
rB
dr
d
r
ϕ
ϕ
Так как второй и третий члены равны нулю (см. выше ), то
()
0
1
=
r
rB
dr
d
r
и
;
r
const
B
r
=
const полагаем равной нулю , чтобы исключить бесконечность B
r
при
r
→
∞
.
Окончательно получаем:
==
==
,
2
,
2
2
r
R
I
BB
r
I
BB
i
e
π
π
ϕ
ϕ
Рассчитать напряженность
r
H
магнитного поля можно и через векторный
потенциал
r
A
:
ArotB
r
=
В однородной изотропной среде векторный потенциал
r
A
удовлетворяет
уравнению ∆
r
r
Aj=−µ
0
(уравнение записано в системе СИ ).
В цилиндрической системе координат это уравнение примет вид:
1
0
r
d
dr
r
d
dr
Aj
zi
=−µ
r
,
когда
r
R
≤
;
d
dr
r
d
dr
A
ze
= 0,
когда
r
R
≥
.
При этом учитывалось равенство нулю компонент А
r
и А
ϕ
, что следует из
симметрии задачи.
После интегрирования получим общие решения:
Ajrcrc
zi
=−++
1
4
0
2
12
µ ln
Acrc
ze
=
+
34
ln
Чтобы при
r
→
0
A
zi
была конечной величиной, полагаем с
1
= 0 и с
2
=А
0
, где
А
0
- значение потенциала на оси цилиндра.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
25
пр и Bz =
1 1 r r
c ∫ r3
[ ]
j , r z dv,
r r
а та к ка к в на ш е м случ а е [ ]z
j ,r = 0 , то и Bz = 0.
Д ля до ка за те льства р а ве нства Br = 0 за пи ш е м ур а вне ни я М а ксве лла для
по сто янно го ма гни тно го по ля в ва кууме divB = 0 в ци ли ндр и ч е ско й си сте ме
ко о р ди на т.
1 d
(rBr ) + 1 d Bϕ + d B z = 0.
r dr r dϕ dz
Та к ка к вто р о й и тр е ти й ч ле ны р а вны нулю (см. вы ш е ), то
1 d
(rBr ) = 0 и
r dr
const
Br = ; const по ла га е м р а вно й нулю, ч то б ы и склю ч и ть б е ско не ч но сть Br пр и
r
r → ∞.
О ко нч а те льно по луч а е м:
I
B = Bϕ = ,
2πr
e
I
Bi = Bϕ = r,
r 2πR 2
Ра ссч иrта ть на пр яж е нно сть H ма гни тно го по ля мо ж но и ч е р е з ве кто р ны й
по те нци а л A :
r
B = rotA r
В о дно р rо дно й и зо тр о пно й ср е де ве кто р ны й по те нци а л A удо вле тво р яе т
r
ур а вне ни ю ∆A = −µ 0 j (ур а вне ни е за пи са но в си сте ме С И ).
В ци ли ндр и ч е ско й си сте ме ко о р ди на тэто ур а вне ни е пр и ме тви д:
1d d r
r Azi = −µ 0 j , ко гда r ≤ R ;
r dr dr
d d
r Aze = 0, ко гда r ≥ R .
dr dr
П р и это м уч и ты ва ло сь р а ве нство нулю ко мпо не нт А r и А ϕ, ч то сле дуе т и з
си мме тр и и за да ч и .
П о сле и нте гр и р о ва ни я по луч и м о б щ и е р е ш е ни я:
1
Azi = − µ 0 jr 2 + c1 ln r + c2
4
Aze = c3 ln r + c4
Ч то б ы пр и r → 0 Azi б ы ла ко не ч но й ве ли ч и но й, по ла га е м с1 = 0 и с2=А 0, где
А 0 - зна ч е ни е по те нци а ла на о си ци ли ндр а .
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
