Алгебра. Ткач Л.И. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

8. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ (n ≤ 3)
8.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЫ. СВОЙСТВА
Определение 8.1.1. Определителем квадратной матрицы
nn
A
×
(n ≤ 3) называется число, обозначаемое Adet
46
и опреде-
ляемое следующим образом:
1)
если n = 1 (или матрица имеет вид
()
1111
aA =
×
), то
11
det aA
=
;
2) если n = 2 (или матрица имеет вид
=
×
2221
1211
22
aa
aa
A
), то
12212211
det aaaaA
−
=
;
3) если n = 3 (или матрица имеет вид
=
×
333231
232221
131211
33
aaa
aaa
aaa
A
), то
233211331221132231321321231231332211
det aaaaaaaaaaaaaaaaaaA
−
−
−
+
+
=
. (1)
Заметим, что для случаев n = 2 и n = 3 выражения для Adet получаются по следующим схемам
47
:
n = 2
n = 3
Элементом определителя, строкой определителя, столбцом определителя называются, соответственно, элемент, строка,
столбец матрицы, для которой рассматривается определитель.
Примеры.
Найти определители матриц
=
=
987
654
321
,
43
21
AB . Согласно определению, получим:
22341
43
21
det −=⋅−⋅==B ; =⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅== 681924357834627951
987
654
321
det A
04872105968445 =−−−++= .
Пусть
(
)
ijnn
aA =
×
– некоторая квадратная матрица (n = 2, 3).
Определение 8.1.2. Минором
ij
M
элемента
ij
a
матрицы A называется определитель матрицы, полученной из матрицы
A при вычеркивании i-й строки и j-го столбца.
Определение 8.1.3. Алгебраическим дополнением
ij
A
элемента
ij
a
матрицы A называется число, равное произведению
множителя
()
ji +
−1 и минора
ij
M ,
()
ij
ji
ij
MA ⋅−=
+
1 .
Примеры. Если
=
987
654
321
A , то минор элемента
12
a равен
64236
97
64
12
−=−==M
,
минор элемента
22
a равен
12219
97
31
22
−=−==M ,
46
Встречаются также обозначения
A
A ∆, .
47
Для n = 3 эта схема носит название схемы Саррюса или правила треугольников.
+
+
–
–

Страницы