Алгебра. Ткач Л.И. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

алгебраическое дополнение элемента
12
a равно
(
)
(
)
661
12
21
12
=−−=⋅−=
+
MA ,
алгебраическое дополнение элемента
22
a равно
(
)
121
22
22
22
−=⋅−=
+
MA .
Рассмотрим основные свойства определителя.
Свойство 1 (основное). Сумма произведений элементов строки (столбца) определителя и их алгебраических дополнений не
зависит от номера строки (столбца) и равна этому определителю:
∑∑
==
===⋅=⋅=
n
k
n
k
kjkjikik
njiAaAaA
11
3,2;3,2,1;3,2,1,det .
Доказательство. Докажем, например, равенство для второй строки (i = 2) матрицы размера 3 × 3 (n = 3):
∑
=
⋅+⋅+⋅=⋅=
3
1
23232222212122
det
k
kk
AaAaAaAaA .
Для этого преобразуем выражение (1) для определителя матрицы при n = 3:
=
−
−
−
+
+=
233211331221132231321321231231332211
det aaaaaaaaaaaaaaaaaaA
()
(
)
(
)
=
−
−
−
+
−−=
123132112313313311221332331221
aaaaaaaaaaaaaaa
() () ()
=⋅−+⋅−+⋅−=
+++
2323
32
2222
22
2121
21
111 MaMaMa
232322222121
AaAaAa ⋅+⋅+⋅= .
Аналогично устанавливаются равенства в остальных случаях. Свойство доказано.
Представление определителя матрицы
A в виде
∑
=
⋅=
n
k
ikik
AaA
1
det называется разложением определителя матрицы A
по i-й строке
, а в виде
∑
=
⋅=
n
k
kjkj
AaA
1
det − разложением определителя матрицы A по j-му столбцу.
Свойство 1 удобно применять для вычисления определителей, если в какой-то строке (столбце) присутствуют нули.
Пример.
Для вычисления определителя матрицы
=
023
342
031
A
удобно применить разложение по третьему столбцу:
() ()
21923
23
31
13030
023
342
031
32
332313
=−⋅−=⋅−⋅=⋅+⋅+⋅=
+
AAA .
Свойство 2. При транспонировании матрицы определитель не изменяется:
T
AA detdet = .
Доказательство. Для случая n = 2 свойство легко проверить непосредственно. Действительно,
T
A
aa
aa
aaaa
aa
aa
A detdet
2212
2111
12212211
2221
1211
==−== .
Доказать свойство 2 в случае n = 3 тоже можно непосредственно, используя (1), однако, достаточно заметить, что разложе-
ние по любой строке определителя матрицы является разложением по соответствующему столбцу определителя транспони-
рованной матрицы. Далее воспользоваться свойством 1. Свойство доказано.
Смысл свойства 2 в том, что строки и столбцы определителя «равноправны», т.е. любое свойство определителя с уча-
стием строк можно переформулировать в свойство определителя с участием столбцов. Эту равноправность строк и столбцов
уже можно увидеть в свойстве 1.
Свойство 3. Если поменять местами две строки (два столбца) определителя, то определитель изменит знак.
Доказательство. Рассмотрим это свойство для строк. Для случая n = 2 свойство легко проверить непосредственно:
()
1211
2221
2211122112212211
2221
1211
aa
aa
aaaaaaaa
aa
aa
−=−−=−= .
Доказать свойство 3 в случае n = 3 тоже можно непосредственно, используя (1), однако, достаточно воспользоваться
свойством 1 и разложить определитель по строке, не изменившей своего расположения. Перестановка строк приведет к то-
му, что в каждом миноре из рассматриваемого разложения тоже произойдет перестановка строк. Тем самым, каждое из сла-
гаемых из рассматриваемого разложения (а также определитель матрицы) изменит знак. Таким образом, свойство для строк
доказано. Справедливость свойства 3 для столбцов вытекает из свойства 2. Свойство 3 полностью доказано.
Свойство 4. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.

Страницы