Алгебра. Ткач Л.И. - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Теорема 8.2.1. Если правая обратная матрица B и левая обратная матрица C для данной квадратной матрицы A сущест-
вуют, то они равны.
Доказательство. На основании равенств A ⋅ B = E, C ⋅ A = E и свойства ассоциативности умножения матриц получим:
(
)
(
)
BBEBACBACECC
=
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=⋅= .
Таким образом, C = B. Теорема доказана.
Следовательно, не может существовать разных правой и левой обратных матриц для данной квадратной матрицы
A.
Теорема 8.2.2. Если для квадратной матрицы A существует хотя бы одна правая или левая обратная матрица, то опре-
делитель
Adet матрицы A отличен от нуля
48
.
Доказательство. Пусть для матрицы A существует, например, правая обратная матрица B. Тогда A ⋅ B = E и
1detdetdet)(det ==⋅=⋅ EBABA , откуда вытекает, что 0det
≠
A . Аналогично для левой обратной матрицы. Теорема дока-
зана.
Лемма 8.2.1. Сумма произведений элементов строки (столбца) определителя на соответствующие алгебраические до-
полнения элементов другой строки (столбца) равна нулю.
Доказательство. Доказательство проведем для строк (для столбцов оно проводится аналогично). Запишем разложение
по
i-й строке:
332211
333231
232221
131211
iiiiii
AaAaAa
aaa
aaa
aaa
⋅+⋅+⋅= .
Заметим, что поскольку алгебраические дополнения
321
,,
iii
AAA не зависят от элементов i-й строки
321
,,
iii
aaa , то раз-
ложение по
i-й строке является тождеством относительно
321
,,
iii
aaa и сохраняется при замене чисел
321
,,
iii
aaa любыми
другими тремя числами. Заменив
321
,,
iii
aaa соответствующими элементами любой (отличной от i-й) k-й строки
321
,,
kkk
aaa , мы получим в разложении определитель с двумя одинаковыми строками, равный нулю согласно свойству 4.
Таким образом,
0
332211
=⋅+⋅+⋅
ikikik
AaAaAa для любых несовпадающих i и k (i = 1, 2, 3; k = 1, 2, 3). Лемма доказана.
Теорема 8.2.3. Если определитель Adet матрицы A отличен от нуля, то для матрицы A существуют правая и левая об-
ратные матрицы (более того, они равны).
Доказательство. Рассмотрим для определенности случай n = 3. Пусть определитель Adet=∆ отличен от нуля. Рас-
смотрим следующую матрицу
∆∆∆
∆∆∆
∆∆∆
=
332313
32
2212
31
2111
AAA
A
AA
A
AA
B
,
где
ij
A
– алгебраические дополнения элементов матрицы A (заметим, что индексы этих алгебраических дополнений записа-
ны в «транспонированном виде»). Убедимся в том, что эта матрица
B является как правой, так и левой обратной для матрицы
A. Достаточно доказать, что оба произведения A ⋅ B и B ⋅ A являются единичной матрицей. Далее, у обоих произведений лю-
бой элемент, не лежащий на главной диагонали, после выноса множителя
∆
1
, равен сумме произведений одной строки (или
одного столбца) на соответствующие алгебраические дополнения другой строки (или другого столбца) и по лемме 8.2.1 ра-
вен нулю. Что же касается элементов, лежащих на главной диагонали, то после выноса множителя
∆
1
, они являются сумма-
ми произведений элементов и соответствующих алгебраических дополнений одной строки (одного столбца) и по свойству 1
равны ∆. Последующее умножение на множитель
∆
1
делает их равными 1. Таким образом, A ⋅ B = B ⋅ A = E. Аналогично до-
казывается теорема для случая
n = 2, заметим только, что в этом случае
∆∆
∆∆
=
2212
2111
AA
AA
B
. Для n = 1 эта теорема очевидна.
Теорема полностью доказана.
Определение 8.2.2. Матрица B называется обратной для квадратной матрицы A, если A ⋅ B = B ⋅ A = E.
Обратная матрица для матрицы
A обозначается A
–1
. Таким образом, обратная матрица A
–1
является одновременно и пра-
вой, и левой обратной для квадратной матрицы
A. Из теоремы 8.2.3 вытекает, что если
0det ≠
A
, то для матрицы A сущест-
вует обратная матрица
A
–1
. С другой стороны, если для матрицы A существует A
–1
, то:
1) она является одновременно и правой, и левой обратной матрицей;
2) других правых или левых обратных матриц не существует (по теореме 8.2.1);
3)
0det ≠A (по теореме 8.2.2).
Эти выводы позволяют сформулировать следующую теорему.
48
Квадратная матрица A, у которой 0det ≠A , называется невырожденной. В противном случае матрица называется вырожденной.

Страницы