Алгебра. Ткач Л.И. - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

матрица данной системы уравнений;
=
n
b
b
b
B
M
2
1
– столбец свободных чисел;
=
n
x
x
x
X
M
2
1
– столбец неизвестных. Допустим, что
0det ≠A , тогда существует обратная матрица A
–1
. Выразив столбец неизвестных X из матричного равенства A ⋅ X = B:
B
X
A
=
⋅
;
()
BAXAA ⋅=⋅⋅
−− 11
;
(
)
BAXAA ⋅=⋅⋅
−− 11
;
B
A
X
E
⋅
=
⋅
−1
;
B
A
X
⋅
=
−1
,
мы получим формулу, по которой можно найти столбец неизвестных
X. Способ решения систем линейных уравнений, осно-
ванный на формуле
B
A
X
⋅=
−1
, называется матричным способом. Сформулируем вывод в виде теоремы.
Теорема 8.3.1. Если матрица A квадратной системы линейных уравнений B
X
A
=
⋅
имеет не равный нулю определи-
тель
0det ≠
A
, то B
A
X
⋅=
−1
.
Матричное равенство
B
A
X
⋅
=
−1
можно расписать по координатам и получить выражения для каждой неизвестной x
i
.
Для случая
n = 3 это будет выглядеть так:
⋅+⋅+⋅
⋅+⋅+⋅
⋅+⋅+⋅
∆
=
⋅
∆∆∆
∆∆∆
∆∆∆
=
333232131
323222121
313212111
3
2
1
332313
32
2212
31
2111
3
2
1
1
AbAbAb
AbAbAb
AbAbAb
b
b
b
AAA
A
AA
A
AA
x
x
x
.
Заметим, что выражение
iii
AbAbAb
332211
⋅+⋅+⋅ , i = 1, 2, 3 можно представить как определитель матрицы, полученной
заменой
i-го столбца матрицы A на столбец B. Если обозначить такой определитель ∆
i
, то получим следующие формулы для
неизвестных:
∆
∆
=
i
i
x , i = 1, 2, 3. Эти формулы называются формулами Крамера
51
. Таким образом, мы получаем следующую
теорему.
Теорема 8.3.2 (Формулы Крамера). Если матрица A квадратной системы линейных уравнений имеет не равный нулю
определитель ∆ ≠ 0, то неизвестные x
i
, i = 1, …, n можно найти по формулам
∆
∆
=
i
i
x , где ∆
i
– определитель матрицы, полу-
ченной заменой
i-го столбца матрицы A на столбец B.
Пример. Решим систему линейных уравнений
=+−
=+−
=
+
−
1
;135
;142
zyx
zyx
zyx
матричным способом и по формулам Крамера. Заметим,
что матрица системы
−
−
−
=
111
351
142
A
является квадратной и 08det
−
=
A (см. предыдущий пример в 8.2), поэтому мат-
ричный способ и формулы Крамера применимы. Нам уже известна, из предыдущего примера, обратная матрица
−−
−
−−
−
=
−
624
512
732
8
1
1
A . Поэтому, согласно матричному способу:
=
−
−
−
⋅
−
=
−−
−
−
−
⋅
−
==
−
21
41
43
4
2
6
8
1
1
1
1
624
512
732
8
1
1
BAX .
Далее, для применения формул Крамера, найдем определители ∆
i
, i = 1, 2, 3:
()( )
()( )
6
03
21
030
210
141
111
351
141
311
211
1
−=
−
=−
−
=
−
−
−
=∆
+⋅−
+⋅−
;
51
Крамер Габриэль (Cramer Gabriel, 1704 – 1752) – швейцарский математик.

Страницы