Алгебра. Ткач Л.И. - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Теорема 8.2.4. Следующие утверждения для квадратной матрицы A равносильны:
1)
0det ≠A ;
2) для матрицы
A существуют единственные правая и левая обратные матрицы, которые совпадают;
3) для матрицы
A существует единственная обратная матрица A
–1
.
Причем, обратную матрицу
A
–1
можно найти по формулам:
1) в случае n = 1: ;
1
11
1
=
−
a
A
2) в случае n = 2:
∆∆
∆∆
=
−
2212
2111
1
AA
AA
A
;
3) в случае n = 3:
∆∆∆
∆∆∆
∆∆∆
=
−
332313
32
2212
31
2111
1
AAA
A
AA
A
AA
A
.
Таким образом, обращение квадратных матриц оказалось тесно связанным с понятием определителя матрицы.
Пример. Найдем обратную матрицу A
–1
, если она существует, для
матрицы
−
−
−
=
111
351
142
A . Найдем сначала определитель матрицы A:
()()
()()
08
24
12
111
240
120
111
351
142
132
231
≠−=
−
−−
=
−
−
−−
=
−
−
−
+⋅−
+⋅−
,
следовательно, A
–1
существует и единственна. Найдем A
–1
, для этого найдем все алгебраические дополнения элементов матри-
цы
A:
2
11
−=A
,
2
12
=A
,
6,5,7,2,1,3,4
33323123222113
−
=
−
=
−
=
−
==
=
= AAAAAAA
. По формуле для A
–1
получим:
−−
−
−−
⋅
−
=
−
−
−
−
−
−
−
−−
−
−
−−
−
=
−
624
512
732
8
1
8
6
8
2
8
4
8
5
8
1
8
2
8
7
8
3
8
2
1
A .
8.3. МАТРИЧНЫЙ СПОСОБ И ФОРМУЛЫ КРАМЕРА
Понятия обратной матрицы A
–1
и определителя матрицы Adet удачно применяются при решении квадратных
49
систем
линейных уравнений. Рассмотрим квадратную систему линейных уравнений
50
=+++
=+++
=+++
,...
;...
;...
;...
2211
22222121
11212111
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
которую запишем в матричном виде A ⋅ X = B, где
=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
...
...
...
21
22221
11211
–
49
Система линейных уравнений называется квадратной, если число уравнений этой системы совпадает с числом неизвестных.
50
При первом ознакомлении с данными вопросами, с целью упрощения, следует считать, что n ≤ 3.

Страницы