Алгебра. Ткач Л.И. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Доказательство. Если поменять местами две одинаковые строки (или два одинаковых столбца) определителя
A
∆
, то, с
одной стороны, определитель
A
∆ изменит знак (по свойству 3), с другой стороны, определитель
A
∆ не изменится (так как
матрица
A не изменится). Следовательно,
AA
∆−=∆ . Это и означает, что 0
=
∆
A
. Свойство доказано.
Свойство 5. Общий множитель элементов любой строки (столбца) можно выносить за знак определителя.
Доказательство. Достаточно доказать это свойство только для строк (для столбцов справедливость свойства будет сле-
довать из свойства 2). Пусть элементы
i-й строки матрицы A отличаются от соответствующих элементов i-й строки матрицы
A
′
одним и тем же множителем k. Разложим определитель матрицы A по i-й строке и преобразуем:
()
∑∑
==
′
=⋅=⋅=
n
k
n
k
ikikikik
AkAakAkaA
11
detdet . Из полученного равенства вытекает справедливость данного свойства. Свойство
доказано.
Свойство 5 можно переформулировать в таком виде: если все элементы некоторой строки (столбца) определителя ум-
ножить на одно и то же число, то сам определитель умножится на это число.
Свойство 6. Если i-й столбец
i
A определителя
A
∆
равен сумме двух столбцов
iii
AAA
′′
+
′
=
, то определитель
A
∆
равен
сумме двух определителей, у которых
i-е столбцы равны, соответственно,
ii
AA
′
′
′
и .
Доказательство. Обозначим элементы столбцов
i
A ,
ii
AA
′
′
′
и как
kikiki
aaa
′
′
′
и, , соответственно. Тогда
kikiki
aaa
′
′
+
′
=
, k =
1, …,
n. Разложим
A
∆ по i-му столбцу и преобразуем:
()
∑∑ ∑∑
== ==
⋅
′′
+⋅
′
=⋅
′′
+
′
=⋅=∆
n
k
n
k
n
k
n
k
ikikikikikikikikikA
AaAaAaaAa
11 11
.
Из этого равенства и вытекает справедливость свойства 6. Свойство доказано.
Аналогичное свойство справедливо и для строк (в силу свойства 2).
Свойство 7. Если к одной строке (столбцу) определителя прибавить другую строку (столбец), умноженную на некото-
рое число, то определитель не изменится.
Доказательство. Применяя поочередно свойства 6, 5 и 4, мы докажем свойство 7.
Свойство 7 удобно применять при вычислении определителей.
Пример. Для вычисления определителя матрицы
=
253
342
131
A
удобно применить следующие преобразования строк матрицы A (в силу свойства 7, они не изменяют определителя матрицы
A):
()( )
()()
()()
()()
6321
300
120
131
140
120
131
253
342
131
det
322
313
212
=−⋅−⋅=
−
−=
−−
−==
+⋅−
+⋅−
+⋅−
A
.
Поясним, что при первом переходе мы умножили первую строку на
–2 и сложили со второй строкой, затем снова умножили первую строку на –3 и сложили с третьей строкой. При втором
переходе мы умножили вторую строку на –2 и сложили с третьей строкой.
Свойство 8. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей этих матриц:
()
BABA detdetdet ⋅=⋅ .
Доказательство. Для случая n = 1 или n = 2 это равенство легко можно проверить непосредственно, сравнив выражения
()
BA ⋅det
и BA detdet ⋅ . Например, пусть
++
+
+
=⋅
=
=
dtcydzcx
btaybzax
BA
tz
yx
B
dc
ba
A
тогда,и и
()
(
)
(
)
(
)
(
)
=
+
+
−
+
+
=⋅ dzcxbtaydtcybzaxBAdet
btcxaydzbzcyaxdtbtdzbtcxaydzaycxbzdtbzcyaxdtaxcy −
−
+
=
−
−
−
−+++=
.
С другой стороны,
(
)( )
bcyzbcxtadyzadxtyzxtbcadBA
+
−
−
=
−−=⋅ detdet . Сравнивая эти два выражения, получаем
()
BABA detdetdet ⋅=⋅ .
Для случая
n = 3 доказательство может быть проведено аналогично, только это будет связано с более громоздкими пре-
образованиями. Свойство доказано.
8.2. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА
Пусть A − квадратная матрица.
Определение 8.2.1. Матрица B называется правой обратной для квадратной матрицы A, если A ⋅ B = E. Матрица C на-
зывается
левой обратной для квадратной матрицы A, если C ⋅ A = E.
Заметим, что так как матрицы
A и E квадратные и одного размера, то матрицы B и C (если они существуют) тех же раз-
меров. Далее, для матриц размера 1 × 1 выполняется
B = C (при условии, что 0
11
≠
×
A ), а для квадратных матриц других раз-
меров всегда ли выполняется это равенство? Так как, вообще говоря,
A ⋅ B ≠ B ⋅ A, то нельзя бездоказательно утверждать, что
правая обратная матрица
B является левой обратной матрицей. Поэтому ответ на заданный вопрос, по крайней мере, не оче-
виден. Попытаемся разобраться в этой ситуации.

Страницы