Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 6 стр.

       ГЛАВА II. ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА
                             МАТРИЦЫ

     В этой главе будет показано, к какому простейшему виду можно
привести квадратную матрицу A с помощью преобразования подобия:
A 7→ B −1 AB. В случае, если рассматриваются матрицы над полем комп-
лексных чисел, то такой простейший вид всегда существует, и называ-
ется жордановой нормальной формой матрицы A. Название происходит
от фамилии автора, обнаружившего этот факт, известного французско-
го математика К. Жордана (1838-1922).
     Доказательство основного результата будет проводиться поэтапно,
каждый параграф данной главы (кроме последнего) можно рассматри-
вать как очередной этап доказательства.


                  2.1. Корневые подпространства

     Пусть V — векторное пространство над полем K, A : V → V —
линейный оператор, и λ ∈ K. Рассмотрим множество V (λ), состоящее
из всех v ∈ V , для которых найдется целое k ≥ 0, такое, что (A−λE)k v =
0.

Лемма 2.1.1. V (λ) является подпространством векторного про-
странства V , инвариантным относительно A (а следовательно, и
относительно любого A − γE). V (λ) ̸= {0} тогда и только тог-
да, если λ есть собственное значение оператора A, и в этом случае
V λ ⊆ V (λ).

     Доказательство. Пусть v1 , v2 ∈ V (λ), α1 , α2 ∈ K. Тогда найдутся
такие целые k1 , k2 ≥ 0, что (A − λE)k1 v1 = 0 и (A − λE)k2 v2 = 0. Если
k = max(k1 , k2 ), то (A−λE)k v1 = 0 и (A−λE)k v2 = 0, откуда следует, что


                                    6