Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 7 стр.

(A−λE)k (α1 v1 +α2 v2 ) = 0. Это означает, что V (λ) есть подпространство
векторного пространства V .
     Проверим инвариантность этого подпространства относительно опе-
ратора A. Начнем с очевидного равенства: A(A − λE) = A2 − λA =
(A−λE)A. Отсюда легко следует, что для любого целого неотрицатель-
ного k справедливо равенство A(A − λE)k = (A − λE)k A. Теперь, если
v =∈ V (λ), то для некоторого k справедливо равенство (A − λE)k v = 0.
Но тогда (A−λE)k Av = A(A−λE)k v = 0. Это означает, что Av ∈ V (λ).
     Если λ — собственное значение A, то ясно, что {0} ̸= V λ ⊆ V (λ).
Обратно, пусть V (λ) ̸= {0}. Это значит, что существуют вектор v ̸= 0,
и число k ≥ 1 такие, что (A − λE)k v = 0, но (A − λE)k−1 v ̸= 0. Тогда
вектор (A − λE)k−1 v является собственным вектором A, отвечающим
собственному значению λ.

Определение 2.1.1. Если λ — собственное значение оператора A, то
пространство V (λ) называется корневым подпространством оператора
A.

Определение 2.1.2. Оператор B : V → V называется нильпотент-
ным, если существует такое k ≥ 1, что B k = 0. (Иными словами, для
каждого v ∈ V должно быть B k v = 0.) Если B k = 0, но B k−1 ̸= 0, то
число k называется степенью нильпотентности оператора B.

Пример 2.1.1. Рассмотрим линейный оператор, матрица которого в
некотором базисе имеет слкдующий вид:
                                                
                          0 a1,2 a1,3 . . . a1,n
                                                
                         0 0 a2,3 . . . a2,n 
                                                
                                                
                   A=0 0         0 . . . a3,n 
                         . .     .. . . . .. 
                         .. ..              . 
                                  .             
                          0 0     0 ... 0

                                    7