Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Тогда A
n
= 0 (убедитесь в этом!), и данный оператор является нильпо-
тентным.
Лемма 2.1.2. Пусть λ — собственное значение оператора A. Тогда
ограничение A − λE на V (λ) является нильпотентным оператором.
Доказательство. Пусть v
1
, . . . , v
m
— некоторый базис подпро-
странства V (λ). Тогда найдутся целые положительные числа k
1
, . . . , k
m
такие, что (A − λ E)
k
j
v
j
= 0 для всех j = 1, . . . , m. Если взять k =
max(k
1
, . . . , k
m
), то (A − λE)
k
v
j
= 0 для всех j = 1, . . . , m. Произволь-
ный вектор v ∈ V (λ) можно представить в виде v =
m
j=1
α
j
v
j
. Поэтому
(A − λE)
k
v = (A − λE)
k
(
m
j=1
α
j
v
j
) =
m
j=1
α
j
((A − λE)
k
v
j
) = 0.
Но это именно то, что и утверждается в формулировке леммы. В част-
ности, мы видим, что степень нильпотентности ограничения A − λE на
V (λ) не превосходит k.
Лемма 2.1.3. Пусть B : V → V — нильпотентный оператор, причем
dim(V ) = n. Тогда степень нильпотентности B не превосходит n. В
частности, B
n
= 0.
Заметим, что это утверждение справедливо для произвольного поля
K.
Доказательство. Пусть B
k
= 0, но B
k−1
̸= 0. Это значит, что для
каждого x ∈ V выполнено равенство B
k
x = 0, но существует вектор y ∈
V такой, что B
k−1
y ̸= 0. Обозначим через B
m
V образ оператора B
m
, т.е.
множество всех векторов вида B
m
v, где v пробегает все пространство
V . Тогда имеет место цепочка включений:
V ⊇ BV ⊇ B
2
V ⊇ . . . B
m
V ⊇ B
m+1
V ⊇ . . . ⊇ B
k−1
V ⊃ B
k
V = {0}.
8
Тогда An = 0 (убедитесь в этом!), и данный оператор является нильпо-
тентным.

Лемма 2.1.2. Пусть λ — собственное значение оператора A. Тогда
ограничение A − λE на V (λ) является нильпотентным оператором.

     Доказательство.        Пусть v1 , . . . , vm — некоторый базис подпро-
странства V (λ). Тогда найдутся целые положительные числа k1 , . . . , km
такие, что (A − λE)kj vj = 0 для всех j = 1, . . . , m. Если взять k =
max(k1 , . . . , km ), то (A − λE)k vj = 0 для всех j = 1, . . . , m. Произволь-
                                                            ∑m
ный вектор v ∈ V (λ) можно представить в виде v =                αj vj . Поэтому
                                                                    j=1

                                    ∑
                                    m                 ∑
                                                      m
       (A − λE) v = (A − λE) (
                 k              k
                                          αj vj ) =         αj ((A − λE)k vj ) = 0.
                                    j=1               j=1

Но это именно то, что и утверждается в формулировке леммы. В част-
ности, мы видим, что степень нильпотентности ограничения A − λE на
V (λ) не превосходит k.

Лемма 2.1.3. Пусть B : V → V — нильпотентный оператор, причем
dim(V ) = n. Тогда степень нильпотентности B не превосходит n. В
частности, B n = 0.

     Заметим, что это утверждение справедливо для произвольного поля
K.
     Доказательство. Пусть B k = 0, но B k−1 ̸= 0. Это значит, что для
каждого x ∈ V выполнено равенство B k x = 0, но существует вектор y ∈
V такой, что B k−1 y ̸= 0. Обозначим через B m V образ оператора B m , т.е.
множество всех векторов вида B m v, где v пробегает все пространство
V . Тогда имеет место цепочка включений:

     V ⊇ BV ⊇ B 2 V ⊇ . . . Bm V ⊇ B m+1 V ⊇ . . . ⊇ B k−1 V ⊃ B k V = {0}.

                                           8

Страницы