Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

После подстановки вместо x оператора A получим:
m
i=1
χ
i
(A)h
i
(A) = E. (2.1.1)
Положим W
i
= χ
i
(A)h
i
(A)V . Так как (x − λ
i
)
n
i
χ
i
(x) = (−1)
n
χ
A
(x), и
χ
A
(A) = 0 (теорема Гамильтона-Кэли, именно здесь и требуется пред-
полагать, что все происходит над полем действительных или комплекс-
ных чисел), то
(A − λ
i
E)
n
i
W
i
= {0}. Отсюда следует, что W
i
⊆ V (λ
i
) для всех i,
1 ≤ i ≤ m. Применяя (2.1.1) к произвольному вектору v ∈ V , полу-
чим
v = v
1
+ · · · + v
m
,
где v
i
= χ
i
(A)h
i
(A)v ∈ W
i
⊆ V (λ
i
) для каждого i. Отсюда следует, что
V =
m
i=1
W
i
=
m
i=1
V (λ
i
).
Остается показать, что эта сумма прямая.
Пусть v
i
∈ V (λ
i
), 1 ≤ i ≤ m, v
1
+ · · · + v
m
= 0, и некоторый v
i
̸= 0.
Тогда v
i
=
j,j̸=i
(−v
j
) =
j,j̸=i
v
′
j
, где v
′
j
= −v
j
∈ V (λ
j
).
Так как ограничение A − λ
j
E на V (λ
j
) нильпотентно для всех j,
1 ≤ j ≤ m, и степень нильпотентности этого оператора не превышает
размерности V (λ
j
), которая, в свою очередь, не больше размерности
пространства V , равной n, то (A − λ
i
E)
n
v
i
= 0 и (A − λ
j
E)
n
v
′
j
= 0 при
j ̸= i. Положим h(x) =
j̸=i
(x − λ
j
)
n
. Тогда многочлены (x − λ
i
)
n
и h(x)
взаимно просты, откуда следует, что найдутся такие многочлены a(x)
и b(x), что
a(x)(x − λ
i
)
n
+ b(x)h(x) = 1.
Отсюда получаем
a(A)(A − λ
i
E)
n
+ b(A)h(A) = E.
10
После подстановки вместо x оператора A получим:
                              ∑
                              m
                                       χi (A)hi (A) = E.           (2.1.1)
                                 i=1

Положим Wi = χi (A)hi (A)V . Так как (x − λi )ni χi (x) = (−1)n χA (x), и
χA (A) = 0 (теорема Гамильтона-Кэли, именно здесь и требуется пред-
полагать, что все происходит над полем действительных или комплекс-
ных чисел), то
(A − λi E)ni Wi = {0}. Отсюда следует, что Wi ⊆ V (λi ) для всех i,
1 ≤ i ≤ m. Применяя (2.1.1) к произвольному вектору v ∈ V , полу-
чим
                                   v = v1 + · · · + vm ,
где vi = χi (A)hi (A)v ∈ Wi ⊆ V (λi ) для каждого i. Отсюда следует, что
                                    ∑
                                    m            ∑
                                                 m
                          V =             Wi =         V (λi ).
                                    i=1          i=1

Остается показать, что эта сумма прямая.
  Пусть vi ∈ V (λi ), 1 ≤ i ≤ m, v1 + · · · + vm = 0, и некоторый vi ̸= 0.
           ∑             ∑ ′
Тогда vi =    (−vj ) =      vj , где vj′ = −vj ∈ V (λj ).
              j,j̸=i      j,j̸=i
  Так как ограничение A − λj E на V (λj ) нильпотентно для всех j,
1 ≤ j ≤ m, и степень нильпотентности этого оператора не превышает
размерности V (λj ), которая, в свою очередь, не больше размерности
пространства V , равной n, то (A − λi E)n vi = 0 и (A − λj E)n vj′ = 0 при
                       ∏
j ̸= i. Положим h(x) =   (x − λj )n . Тогда многочлены (x − λi )n и h(x)
                          j̸=i
взаимно просты, откуда следует, что найдутся такие многочлены a(x)
и b(x), что
                        a(x)(x − λi )n + b(x)h(x) = 1.
Отсюда получаем

                       a(A)(A − λi E)n + b(A)h(A) = E.

                                            10

Страницы