Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Применим левую и правую части этого равенства к вектору v
i
̸= 0. Уже
известно, что (A−λ
i
E)
n
v
i
= 0. Рассмотрим вектор b(A)h(A)v
i
, а точнее,
даже вектор h(A)v
i
. Заменим v
i
на
j,j̸=i
v
′
j
, и получим
j,j̸=i
h(A)v
′
j
. Но так
как для каждого j ̸= i оператор h(A) содержит множитель (A − λ
j
E)
n
,
эти множители можно переставлять, и так как по леммам 2.1.2 и 2.1.3
выполняется равенство (A − λ
j
E)
n
v
′
j
= 0, то h(A)v
′
j
= 0. Тем более,
b(A)h(A)v
′
j
= 0, для всех j ̸= i, откуда следует b(A)h(A)v
i
= 0. Теперь
из равенства
a(A)(A − λ
i
E)
n
v
i
+ b(A)h(A)v
i
= Ev
i
= v
i
получаем 0 = v
i
, что противоречит сделанному ранее предположению
v
i
̸= 0. Таким образом, сумма
V =
m
i=1
V (λ
i
)
действительно является прямой суммой.
Покажем еще, что V (λ
i
) = W
i
для всех i. С одной стороны, W
i
⊆
V (λ
i
). С другой стороны, так как V =
m
i=1
W
i
, то произвольный v ∈
V (λ
i
) представляется в виде суммы v = w
1
+ · · · + w
i
+ · · · + w
m
, где
w
j
∈ W
j
⊆ V (λ
j
). Отсюда w
1
+ · · · + (w
i
− v) + · · · + w
m
= 0 и, по
определению прямой суммы, w
1
= 0, . . . , w
i
− v = 0, . . . , w
m
= 0. Таким
образом, v = w
i
∈ W
i
. Теорема доказана.
Далее мы сформулируем и докажем три дополнения к теореме 2.1.1.
Конечно, можно было бы сформулировать саму эту теорему таким об-
разом, чтобы то, что мы назыываем ниже “дополнниями”, стало частью
теоремы (как это и сделано в учебнике А.И. Кострикина [10]). Но тог-
да эта теорема стала бы довольно громоздкой, что вызвало бы опреде-
ленные проблемы как при составлении вопросов для экзаменационных
билетов, так и на экзамене. Чтобы несколько уменьшить эти проблемы,
11
Применим левую и правую части этого равенства к вектору vi ̸= 0. Уже
известно, что (A−λi E)n vi = 0. Рассмотрим вектор b(A)h(A)vi , а точнее,
                                    ∑ ′               ∑
даже вектор h(A)vi . Заменим vi на     vj , и получим   h(A)vj′ . Но так
                                    j,j̸=i             j,j̸=i
как для каждого j ̸= i оператор h(A) содержит множитель (A − λj E)n ,
эти множители можно переставлять, и так как по леммам 2.1.2 и 2.1.3
выполняется равенство (A − λj E)n vj′ = 0, то h(A)vj′ = 0. Тем более,
b(A)h(A)vj′ = 0, для всех j ̸= i, откуда следует b(A)h(A)vi = 0. Теперь
из равенства

                a(A)(A − λi E)n vi + b(A)h(A)vi = Evi = vi

получаем 0 = vi , что противоречит сделанному ранее предположению
vi ̸= 0. Таким образом, сумма
                                    ∑
                                    m
                              V =         V (λi )
                                    i=1

действительно является прямой суммой.
   Покажем еще, что V (λi ) = Wi для всех i. С одной стороны, Wi ⊆
                                       ∑m
V (λi ). С другой стороны, так как V =    Wi , то произвольный v ∈
                                               i=1
V (λi ) представляется в виде суммы v = w1 + · · · + wi + · · · + wm , где
wj ∈ Wj ⊆ V (λj ). Отсюда w1 + · · · + (wi − v) + · · · + wm = 0 и, по
определению прямой суммы, w1 = 0, . . . , wi − v = 0, . . . , wm = 0. Таким
образом, v = wi ∈ Wi . Теорема доказана.

  Далее мы сформулируем и докажем три дополнения к теореме 2.1.1.
Конечно, можно было бы сформулировать саму эту теорему таким об-
разом, чтобы то, что мы назыываем ниже “дополнниями”, стало частью
теоремы (как это и сделано в учебнике А.И. Кострикина [10]). Но тог-
да эта теорема стала бы довольно громоздкой, что вызвало бы опреде-
ленные проблемы как при составлении вопросов для экзаменационных
билетов, так и на экзамене. Чтобы несколько уменьшить эти проблемы,

                                     11

Страницы