Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

мы разделили теорему на части, с тем, чтобы вместо одного вопроса в
билете появилось бы по крайней мере два.
Итак, пусть сохраняются все обозначения и соглашения из доазатель-
ства теоремы. Рассмотрим V (λ
i
) = W
i
= χ
i
(A)h
i
(A)V . Это означает,
что
(A − λ
i
E)
n
i
V (λ
i
) = {0}.
Отсюда выводится следующее утверждение:
Дополнение 1. При тех же предположениях и обозначениях един-
ственным собственным значением ограничения оператора A на V (λ
i
)
является λ
i
, 1 ≤ i ≤ m.
Доказательство. Так как у оператора A существует собственный
вектор w ̸= 0, отвечающий собственному значению λ
i
, и w ∈ V (λ
i
),
то этот вектор будет также собственным вектором ограничения A на
V (λ
i
), отвечающим собственному значению λ
i
.
Допустим, что существует какое-то другое собственное значение
γ ̸= λ
i
ограничения A на V (λ
i
). Это значит, что найдется ненулевой
v ∈ V (λ
i
) такой, что (A − γE)v = 0. Многочлены x − γ и (x − λ
i
)
n
i
вза-
имно просты. Отсюда следует, что найдутся многочлены f и g такие,
что f(x)(x − γ) + g(x)(x − λ
i
)
n
i
= 1. Подставляя опратор A, получим
равенство:
f(A)(A − γE) + g(A)(A − λ
i
E)
n
i
= E.
Применим оператор, стоящий в левой части, к ненулевому вектору v.
Но (A − γE)v = 0 по выбору v, и (A − λ
i
E)
n
i
v = 0, так как, по дока-
занному выше, (A − λ
i
E)
n
i
V (λ
i
) = {0}. Отсюда получаем, что v = 0, в
противоречии с выбором v. Утверждение доказано.
Дополнение 2. При тех же предположениях и обозначениях
dim(V (λ
i
)) = n
i
, 1 ≤ i ≤ m.
12
мы разделили теорему на части, с тем, чтобы вместо одного вопроса в
билете появилось бы по крайней мере два.

   Итак, пусть сохраняются все обозначения и соглашения из доазатель-
ства теоремы. Рассмотрим V (λi ) = Wi = χi (A)hi (A)V . Это означает,
что
                           (A − λi E)ni V (λi ) = {0}.

Отсюда выводится следующее утверждение:

   Дополнение 1. При тех же предположениях и обозначениях един-
ственным собственным значением ограничения оператора A на V (λi )
является λi , 1 ≤ i ≤ m.
   Доказательство. Так как у оператора A существует собственный
вектор w ̸= 0, отвечающий собственному значению λi , и w ∈ V (λi ),
то этот вектор будет также собственным вектором ограничения A на
V (λi ), отвечающим собственному значению λi .
   Допустим, что существует какое-то другое собственное значение
γ ̸= λi ограничения A на V (λi ). Это значит, что найдется ненулевой
v ∈ V (λi ) такой, что (A − γE)v = 0. Многочлены x − γ и (x − λi )ni вза-
имно просты. Отсюда следует, что найдутся многочлены f и g такие,
что f (x)(x − γ) + g(x)(x − λi )ni = 1. Подставляя опратор A, получим
равенство:
                  f (A)(A − γE) + g(A)(A − λi E)ni = E.

Применим оператор, стоящий в левой части, к ненулевому вектору v.
Но (A − γE)v = 0 по выбору v, и (A − λi E)ni v = 0, так как, по дока-
занному выше, (A − λi E)ni V (λi ) = {0}. Отсюда получаем, что v = 0, в
противоречии с выбором v. Утверждение доказано.

   Дополнение 2.         При тех же предположениях и обозначениях
dim(V (λi )) = ni , 1 ≤ i ≤ m.

                                       12

Страницы