Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Доказательство. Пусть k
i
= dim(V (λ
i
)), 1 ≤ k ≤ m. Тогда
k
1
+ · · · + k
m
= n = n
1
+ · · · + n
m
. Выберем в каждом подпространстве
V (λ
i
) какой-нибудь базис, и пусть A
i
есть матрица оператора A|
V (λ
i
)
в
этом базисе. Это матрица размера k
i
×k
i
. Объединение всех выбранных
базисов подпространств V (λ
i
) будет базисом всего пространства V (так
как уже доказано, что V = V (λ
1
) ⊕ · · · ⊕ V (λ
m
)), и матрицей оператора
A в этом базисе будет матрица
A
1
0 . . . 0
0 A
2
. . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . A
m
Очевидно, что характеристически многочлен этой матрицы (а следова-
тельно, и оператора A) равен произведению характеристических мно-
гочленов матриц A
i
, 1 ≤ i ≤ m. Но характеристический многочлен мат-
рицы A
i
как матрицы оператора A|
V (λ
i
)
должен иметь своими корнями
в точности собственный значения этого оператора. В Дополнении 1 уже
было показано, что такое собственное значение только одно, и это само
число λ
i
. Так как степень характеристического многочлена матрицы
равна порядку матрицы, то это будет многочлен (−1)
k
i
(x − λ
i
)
k
i
. Таким
образом, мы вычислили характеристический многочлен оператора A, и
он оказался равным
(−1)
k
1
(x − λ
1
)
k
1
. . . (−1)
k
m
(x − λ
i
)
k
m
=
(−1)
k
1
+···+k
m
(x − λ
1
)
k
1
. . . (x − λ
i
)
k
m
=
(−1)
n
(x − λ
1
)
k
1
. . . (x − λ
i
)
k
m
.
Но тот же самый многочлен по условию равен
(−1)
n
(x − λ
1
)
n
1
. . . (x − λ
i
)
n
m
. Так как разложение многочленов на не-
приводимые множители однозначно, то отсюда следует, что для всех i,
1 ≤ i ≤ m, выполняются равенства n
i
= k
i
= dim(V (λ
i
)).
13
  Доказательство.           Пусть ki = dim(V (λi )), 1 ≤ k ≤ m. Тогда
k1 + · · · + km = n = n1 + · · · + nm . Выберем в каждом подпространстве
V (λi ) какой-нибудь базис, и пусть Ai есть матрица оператора A|V (λi ) в
этом базисе. Это матрица размера ki × ki . Объединение всех выбранных
базисов подпространств V (λi ) будет базисом всего пространства V (так
как уже доказано, что V = V (λ1 ) ⊕ · · · ⊕ V (λm )), и матрицей оператора
A в этом базисе будет матрица
                                                    
                          A 0            ...    0
                         1                          
                         0 A                        
                                2       ...    0    
                         .   .                 ..   
                         ..  ..         ...     .   
                                                    
                           0 0           . . . Am
Очевидно, что характеристически многочлен этой матрицы (а следова-
тельно, и оператора A) равен произведению характеристических мно-
гочленов матриц Ai , 1 ≤ i ≤ m. Но характеристический многочлен мат-
рицы Ai как матрицы оператора A|V (λi ) должен иметь своими корнями
в точности собственный значения этого оператора. В Дополнении 1 уже
было показано, что такое собственное значение только одно, и это само
число λi . Так как степень характеристического многочлена матрицы
равна порядку матрицы, то это будет многочлен (−1)ki (x − λi )ki . Таким
образом, мы вычислили характеристический многочлен оператора A, и
он оказался равным
             (−1)k1 (x − λ1 )k1 . . . (−1)km (x − λi )km =
                       (−1)k1 +···+km (x − λ1 )k1 . . . (x − λi )km =
                       (−1)n (x − λ1 )k1 . . . (x − λi )km .
Но тот же самый многочлен по условию равен
(−1)n (x − λ1 )n1 . . . (x − λi )nm . Так как разложение многочленов на не-
приводимые множители однозначно, то отсюда следует, что для всех i,
1 ≤ i ≤ m, выполняются равенства ni = ki = dim(V (λi )).

                                       13

Страницы