Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Пример 2.2.1. В случае k = 1, 2, 3 соответствующие жордановы клет-
ки таковы:
J
1
(λ) = (λ), J
2
(λ) =
(
λ 1
0 λ
)
, J
3
(λ) =
λ 1 0
0 λ 1
0 0 λ
.
Определение 2.2.2. Говорят, что матрица A является жордановой
(или имеет жорданову нормальную форму), если A есть блочно-
диагональная матрица, на диагонали которой стоят жордановы клетки,
т.е.
A =
J
k
1
(λ
1
) 0 . . . 0
0 J
k
2
(λ
2
) . . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0
.
.
.
J
k
l
(λ
l
)
Здесь порядки жордановых клеток k
1
, . . . , k
l
не обязательно различны,
и элементы поля λ
1
, . . . , λ
l
также не обязательно различны.
Определение 2.2.3. Говорят, что квадратная матрица A приводит-
ся к жордановой нормальной форме, если существует невырожденная
матрица B такая, что матрица B
−1
AB является жордановой (т.е. имеет
жорданову номальную форму).
Приведение матрицы A к жордановой нормальной ф орме — это про-
цесс нахождения жордановой матрицы вида B
−1
AB. Иногда кроме вы-
числения жордановой матрицы требуется и нахождение матрицы B. На
языке линейных операторов это означает нахождение базиса, в котором
матрица данного линейного оператора имеет жорданову нормальную
форму.
15
Пример 2.2.1. В случае k = 1, 2, 3 соответствующие жордановы клет-
ки таковы:
                                                                           
                                   (          )                     λ 1 0
                                       λ 1                              
       J1 (λ) = (λ),   J2 (λ) =                   ,     J3 (λ) = 
                                                                  0 λ 1 .
                                                                         
                                       0 λ
                                                                   0 0 λ

Определение 2.2.2. Говорят, что матрица A является жордановой
(или имеет жорданову нормальную форму), если A есть блочно-
диагональная матрица, на диагонали которой стоят жордановы клетки,
т.е.                                                            
                           Jk1 (λ1 )      0           ...   0
                                                                
                                                                
                             0        Jk2 (λ2 ) . . .     0     
                  A=         ..           ..              ..    
                              .            .     ...       .    
                                                                
                              0            0      . . . J (λ )
                                                         kl l

Здесь порядки жордановых клеток k1 , . . . , kl не обязательно различны,
и элементы поля λ1 , . . . , λl также не обязательно различны.


Определение 2.2.3. Говорят, что квадратная матрица A приводит-
ся к жордановой нормальной форме, если существует невырожденная
матрица B такая, что матрица B −1 AB является жордановой (т.е. имеет
жорданову номальную форму).

   Приведение матрицы A к жордановой нормальной форме — это про-
цесс нахождения жордановой матрицы вида B −1 AB. Иногда кроме вы-
числения жордановой матрицы требуется и нахождение матрицы B. На
языке линейных операторов это означает нахождение базиса, в котором
матрица данного линейного оператора имеет жорданову нормальную
форму.



                                         15

Страницы