Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

A|
U
i
. Объединение этих базисов снова будет базисом пространства V , в
котором матрица оператора A будет иметь требуемый вид. В частнос-
ти, если положить
B =
B
1
0 . . . 0
0 B
2
. . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . B
l
то
B
−1
=
B
−1
1
0 . . . 0
0 B
−1
2
. . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . B
−1
l
и
J = B
−1
AB =
B
−1
1
AB
1
0 . . . 0
0 B
−1
2
AB
2
. . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . B
−1
l
AB
l
=
J
1
0 . . . 0
0 J
2
. . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . J
l
Блоки J
1
, . . . , J
l
— это блочно-диагональные матрицы, на диагоналях
которых расположены жордановы клетки. Очевидно, что и матрица J
является блочно-диагональной матрицей, на блочной диагонали кото-
рой располагаются все те жордановы клетки, которые были в матри-
цах J
1
, . . . , J
l
. По определению, это означает, что матрица J является
жордановой.
Из доказательства леммы 2.2.1 следует также, что если для каждого
оператора A|
U
i
: U
i
→ U
i
в подпространстве U
i
существует жорданов ба-
зис, то объединение всех этих базисов подпространств U
1
, . . . , U
l
будет
жордановым базисом всего пространства V .
Лемма 2.2.2. Пусть A — некоторая матрица порядка n над произ-
вольным полем K, и λ ∈ K. Если матрица A − λE
n
приводится к
17
A|Ui . Объединение этих базисов снова будет базисом пространства V , в
котором матрица оператора A будет иметь требуемый вид. В частнос-
ти, если положить                                                 
                                    B1        0        ...    0
                                                                  
                                                                  
                                        0    B2 . . .        0    
                            B=          ..    .. . . .       ..   
                                         .     .              .   
                                                                  
                                         0    0        . . . Bl
то                                                                    
                                   B1−1         0       ...        0
                                                                  
                               0             B2−1      ... 0 
                                                                  
                      B −1   = .                 ..           .   
                               ..                 .     ...   .. 
                                                                  
                                                                −1
                                0               0       . . . Bl
и
                                                                                             
                    B1−1 AB1        0           ...           0                J1 0 . . .   0
                                                                                             
                              B2−1 AB2                                                       
     −1               0                        ...           0              0 J2 . . . 0     
J = B AB =            ..           ..                        ..       =     .. .. . . . ..   
                       .            .          ...            .              . .         .   
                                                                                             
                       0            0           . . . Bl−1 ABl                 0   0 . . . Jl
Блоки J1 , . . . , Jl — это блочно-диагональные матрицы, на диагоналях
которых расположены жордановы клетки. Очевидно, что и матрица J
является блочно-диагональной матрицей, на блочной диагонали кото-
рой располагаются все те жордановы клетки, которые были в матри-
цах J1 , . . . , Jl . По определению, это означает, что матрица J является
жордановой.
     Из доказательства леммы 2.2.1 следует также, что если для каждого
оператора A|Ui : Ui → Ui в подпространстве Ui существует жорданов ба-
зис, то объединение всех этих базисов подпространств U1 , . . . , Ul будет
жордановым базисом всего пространства V .

Лемма 2.2.2. Пусть A — некоторая матрица порядка n над произ-
вольным полем K, и λ ∈ K. Если матрица A − λEn приводится к

                                              17

Страницы