Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 19 стр.

некоторого оператора A − E имеется жорданов базис, то этот же базис
будет жордановым базисом и для оператора A.

  Рассмотрим случай K = C, и пусть дан линейный оператор A : V →
V , и V = V (λ1 ) ⊕ · · · ⊕ V (λm ) — разложение в прямую сумму корневых
подпространств этого оператора. Применяя к этому разложению лемму
2.2.1, получаем, что задача о существовании жордановой нормальной
формы для матрицы оператора A сводится к случаю, когда A имеет
единственное собственное значение λ и V = V (λ).
  Из леммы 2.2.2 теперь следует, что при этих предположениях доста-
точно научиться приводить к жордановой нормальной форме матрицу
оператора A − λE. Но этот оператор при сделанных предположениях
(т.е. при V = V (λ)) является нильпотентным. Таким образом, сущест-
вование жордановой нормальной формы для матрицы произвольного
оператора A над полем C будет доказано, если удастся доказать, что
такая форма существует для матриц нильпотентных операторов.

  Пусть B : V → V — некоторый нильпотентный оператор, причем
поле K можно считать произвольным.

Лемма 2.2.3. Единственное собственное значение нильпотентного
оператора — элемент 0 ∈ K. Над полем комплексных чисел харак-
теристический многочлен нильпотентного оператора равен (−1)n xn
(где n — размерность пространства). Обратно, если у какого-то опе-
ратора B над полем действительных или комплексных чисел характе-
ристический многочлен равен (−1)n xn , то этот оператор является
нильпотентным.

  Доказательство.        В самом деле, если Bv = λv, v ̸= 0, то, ввиду
нильпотентности B, найдется такое r > 0, что B r v = 0, но B r−1 v ̸= 0.
Применим оператор B r−1 к обеим частям равенства Bv = λv, и получим

                                   19