Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

0 = B
r
v = λB
r−1
v. Отсюда следует, что λ = 0.
Предположим, что мы имеем дело с оператором, действующим на
векторном пространстве над полем комплексных чисел. Тогда характе-
ристический многочлен этого оператора записывается в виде (−1)
n
(x −
λ
1
)
n
1
. . . (x − λ
m
)
n
m
, где λ
1
, . . . , λ
m
— все различные собственные значе-
ния оператора. Однако, как только что показано, собственное значение
только одно, и это нуль. Поэтому характеристический многочлен равен
(−1)
n
x
n
.
Обратно, если характеристический многочлен оператора B равен
(−1)
n
x
n
, и оператор действует на векторном пространстве над полем
действительных или комплексных чисел, то можно применить теорему
Гамильтона-Кэли, из которой следует, что (−1)
n
B
n
= 0, т.е. B
n
= 0.
Заметим, что на самом деле утверждения этой леммы справедливы
для операторов над каким угодно полем. Однако у нас пока нет возмож-
ности доказать теорему Гамильтона-Кэли для произвольного поля.
Пример 2.2.2. Рассмотрим оператор, в некотором базисе имеющий
верхнетреугольную матрицу с нулями на главной диагонали, т.е. мат-
рицу вида
0 a
1,2
a
1,3
a
1,4
. . . a
1,n−1
a
1,n
0 0 a
2,3
a
2,4
. . . a
2,n−1
a
2,n
0 0 0 a
3,4
. . . a
3,n−1
a
3,n
0 0 0 0 . . . a
4,n−1
a
4,n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 0 0 . . . 0 a
n−1,n
0 0 0 0 . . . 0 0
Прямыми вычислениями можно убедиться (см. пример 2.1.1), что эта
матрица нильпотентна при любом выборе поля K. Если же поле, в кото-
ром содержатся компоненты матрицы, является полем действительных
20
0 = B r v = λB r−1 v. Отсюда следует, что λ = 0.
   Предположим, что мы имеем дело с оператором, действующим на
векторном пространстве над полем комплексных чисел. Тогда характе-
ристический многочлен этого оператора записывается в виде (−1)n (x −
λ1 )n1 . . . (x − λm )nm , где λ1 , . . . , λm — все различные собственные значе-
ния оператора. Однако, как только что показано, собственное значение
только одно, и это нуль. Поэтому характеристический многочлен равен
(−1)n xn .
   Обратно, если характеристический многочлен оператора B равен
(−1)n xn , и оператор действует на векторном пространстве над полем
действительных или комплексных чисел, то можно применить теорему
Гамильтона-Кэли, из которой следует, что (−1)n B n = 0, т.е. B n = 0.
   Заметим, что на самом деле утверждения этой леммы справедливы
для операторов над каким угодно полем. Однако у нас пока нет возмож-
ности доказать теорему Гамильтона-Кэли для произвольного поля.

Пример 2.2.2. Рассмотрим оператор, в некотором базисе имеющий
верхнетреугольную матрицу с нулями на главной диагонали, т.е. мат-
рицу вида                                                          
                      0 a1,2 a1,3 a1,4 . . . a1,n−1          a1,n
                                                                  
                                                            a2,n 
                     0    0    a2,3 a2,4 . . . a2,n−1             
                                                                  
                     0    0     0    a3,4 . . . a3,n−1      a3,n 
                                                                  
                                                                  
                     0    0     0     0     . . . a4,n−1    a4,n 
                                                             .. 
                     ..   ..    ..    ..     ...     ..
                                                               . 
                      .    .     .     .              .           
                                                                  
                     0    0     0     0     ...     0      an−1,n 
                                                                  
                      0    0     0     0     ...     0        0
Прямыми вычислениями можно убедиться (см. пример 2.1.1), что эта
матрица нильпотентна при любом выборе поля K. Если же поле, в кото-
ром содержатся компоненты матрицы, является полем действительных

                                            20

Страницы