Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Лемма 2.2.5. Циклическое подпространство C(v, k) является инва-
риантным относительно оператора B. Матрица ограничения B на
C(v, k) в базисе B
k−1
v, B
k−2
v, . . . , Bv, v есть жорданова клетка J
k
(0)
порядка k
Доказательство. Для того, чтобы установить инвариант-
ность C(v, k) относительно оператора B, достаточно убедиться, что
при действии B на элементы базиса получаются элементы то-
го же подпространства C(v, k). Но это очевидно: при действии B
на элементы B
k−2
v, . . . , Bv, v получаются элементы того же базиса
B
k−1
v, B
k−2
v, . . . , Bv, а при действии B на B
k−1
v получается B
k
v = 0.
Вычислим матрицу ограничения B на C(v, k) в указанном базисе.
Положим e
1
= B
k−1
v, e
2
= B
k−2
v, . . . , e
j
= B
k−j
v, . . . , e
k
= v. Тогда
Be
1
= 0, Be
2
= e
1
, . . . , Be
j
= e
j
−
1
, . . . , Be
k
= e
k
−
1
.
Соответствующая матрица такова:
0 1 0 . . . 0
0 0 1 . . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 0 . . . 1
0 0 0 . . . 0
Это жорданова клетка порядка k, отвечающая собственному значению
0 оператора B.
Теорема 2.2.1. Пусть B : V → V — нильпотентный оператор (по-
ле K произвольно). Тогда существует представление в виде прямой
суммы циклических подпространств:
V =
s
⊕
i=1
C(v
j
, m
j
) (2.2.1)
22
Лемма 2.2.5. Циклическое подпространство C(v, k) является инва-
риантным относительно оператора B. Матрица ограничения B на
C(v, k) в базисе B k−1 v, B k−2 v, . . . , Bv, v есть жорданова клетка Jk (0)
порядка k

   Доказательство.               Для того, чтобы установить инвариант-
ность C(v, k) относительно оператора B, достаточно убедиться, что
при действии B на элементы базиса получаются элементы то-
го же подпространства C(v, k). Но это очевидно: при действии B
на элементы B k−2 v, . . . , Bv, v получаются элементы того же базиса
B k−1 v, B k−2 v, . . . , Bv, а при действии B на B k−1 v получается B k v = 0.
   Вычислим матрицу ограничения B на C(v, k) в указанном базисе.
Положим e1 = B k−1 v, e2 = B k−2 v, . . . , ej = B k−j v, . . . , ek = v. Тогда

             Be1 = 0, Be2 = e1 , . . . , Bej = ej−1 , . . . , Bek = ek−1 .

Соответствующая матрица такова:
                                                           
                         0 1 0                   ... 0
                                                      
                      0 0 1                     ...   
                                                       0
                                                      
                       .. .. ..                 ...   
                                                       ..
                       . . .                          .
                                                      
                      0 0 0                     ... 1 
                                                      
                         0 0 0                   ... 0

Это жорданова клетка порядка k, отвечающая собственному значению
0 оператора B.

Теорема 2.2.1. Пусть B : V → V — нильпотентный оператор (по-
ле K произвольно). Тогда существует представление в виде прямой
суммы циклических подпространств:
                                        s
                                 V = ⊕ C(vj , mj )                           (2.2.1)
                                      i=1


                                            22

Страницы