Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

можно выразить через базис подпространства U:
Bv =
s
j=1
m
j
−1
k=0
α
j,k
B
k
v
j
.
После перегруппировки слагаемых получим:
Bv =
s
j=1
α
j,0
v
j
+
s
j=1
m
j
−1
k=1
α
j,k
B
k
v
j
=
s
j=1
α
j,0
v
j
+ B(
s
j=1
m
j
−1
k=1
α
j,k
B
k−1
v
j
).
Иными словами,
Bv =
s
j=1
α
j,0
v
j
+ Bu,
где u =
s
j=1
m
j
−1
k=1
α
j,k
B
k−1
v
j
∈ U.
Положим v
′
= v − u. Вектор v
′
не принадлежит подпространству U,
так как из v
′
∈ U ввиду u ∈ U следовало бы v ∈ U, а это не так.
Следовательно, как и в случае с v, вектор v
′
вместе с подпространством
U порождает все пространство V , и вместе с базисом U образует базис
V . При этом
Bv
′
= B(v − u) = Bv − Bu =
s
j=1
α
j,0
v
j
+ Bu − Bu =
s
j=1
α
j,0
v
j
.
Если α
j,0
= 0 для всех j, 1 ≤ j ≤ s, то B v
′
= 0, и подпространство
⟨v
′
⟩ является циклическим подпространством C(v
′
, 1). Поэтому
V = C(v
′
, 1) ⊕
s
⊕
j=1
C(v
j
, m
j
),
и теорема доказана.
Предположим, что α
1,0
= · · · = α
r−1,0
= 0, α
r,0
̸= 0, так что
Bv
′
=
s
j=r
α
j,0
v
j
.
24
можно выразить через базис подпространства U :
                                             j −1
                                         ∑ ∑
                                         s m
                                  Bv =                        αj,k B k vj .
                                          j=1       k=0

После перегруппировки слагаемых получим:
                              j −1                                                  j −1
       ∑
       s                  ∑ ∑
                          s m                             ∑
                                                          s                     ∑ ∑
                                                                                s m
Bv =          αj,0 vj +               αj,k B vj =
                                              k
                                                                 αj,0 vj + B(                αj,k B k−1 vj ).
       j=1                j=1   k=1                       j=1                   j=1   k=1

Иными словами,
                                              ∑
                                              s
                                      Bv =          αj,0 vj + Bu,
                                              j=1

          ∑  j −1
          s m∑
где u =              αj,k B k−1 vj ∈ U .
          j=1 k=1
  Положим v = v − u. Вектор v ′ не принадлежит подпространству U ,
                ′

так как из v ′ ∈ U ввиду u ∈ U следовало бы v ∈ U , а это не так.
Следовательно, как и в случае с v, вектор v ′ вместе с подпространством
U порождает все пространство V , и вместе с базисом U образует базис
V . При этом
                                                  ∑
                                                  s                                    ∑
                                                                                       s
          ′
     Bv = B(v − u) = Bv − Bu =                            αj,0 vj + Bu − Bu =                αj,0 vj .
                                                    j=1                                j=1

  Если αj,0 = 0 для всех j, 1 ≤ j ≤ s, то Bv ′ = 0, и подпространство
⟨v ′ ⟩ является циклическим подпространством C(v ′ , 1). Поэтому
                                                          s
                                V = C(v ′ , 1) ⊕ ⊕ C(vj , mj ),
                                                      j=1

и теорема доказана.
  Предположим, что α1,0 = · · · = αr−1,0 = 0, αr,0 ̸= 0, так что
                                                  ∑
                                                  s
                                          ′
                                       Bv =               αj,0 vj .
                                                    j=r



                                                    24

Страницы