Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

W есть сумма инвариантных (относительно B) подпространств, то до-
статочно только убедиться, что v
r
∈ W . Используем полученное выше
равенство: B v
′′
= v
r
+
s
j=r+1
β
j
v
j
. Из него следует
v
r
= Bv
′′
−
s
j=r+1
β
j
v
j
.
Все слагаемые в правой части принадлежат W . В самом деле, так как
подпространство W инвариантно, то из v
′′
∈ W следует Bv
′′
∈ W . На-
конец, при j ̸= r элементы v
j
принадлежат W по самому определению
W .
Итак, V = W . Отсюда следует, что V есть линейная оболочка ба-
зисных элементов всех C(v
j
, m
j
) при j ̸= r, и базисных элементов
C(v
′′
, m
r
+1). Общее количество этих элементов равно
s
j=1,j̸=r
m
j
+m
r
+1,
то есть равно числу элементов базиса V . Если бы данное множество об-
разующих пространства V было линейно зависимым, то из него можно
было бы выбрать базис V с меньшим числом элементов, что противо-
речит независимости числа элементов базиса от выбора базиса. Таким
образом, базисные элементы всех C(v
j
, m
j
) при j ̸= r и базисные эле-
менты C(v
′′
, m
r
+ 1) в совокупности линейно независимы, и образуют
базис V . Из теоремы 3.1.5 (это известное свойство прямых сумм) теперь
следует, что в определении W сумма подпространств на самом деле яв-
ляется прямой. Итак, пространство V и в этом случае представляется
в виде прямой суммы циклических подпространств.
Следствие 2.2.1. Матрица любого нильпотентного оператора (над
произвольным полем) приводится к жордановой нормальной форме.
Доказательство. Это следует из предыдущей теоремы и из пред-
шествующей ей леммы, причем каждому прямому слагаемому C(v
j
, m
j
)
26
W есть сумма инвариантных (относительно B) подпространств, то до-
статочно только убедиться, что vr ∈ W . Используем полученное выше
             ′′
                      ∑
                      s
равенство: Bv = vr +     βj vj . Из него следует
                     j=r+1

                                          ∑
                                          s
                                ′′
                        vr = Bv −             βj vj .
                                      j=r+1

Все слагаемые в правой части принадлежат W . В самом деле, так как
подпространство W инвариантно, то из v ′′ ∈ W следует Bv ′′ ∈ W . На-
конец, при j ̸= r элементы vj принадлежат W по самому определению
W.
  Итак, V = W . Отсюда следует, что V есть линейная оболочка ба-
зисных элементов всех C(vj , mj ) при j ̸= r, и базисных элементов
                                                       ∑
                                                       s
C(v ′′ , mr +1). Общее количество этих элементов равно   mj +mr +1,
                                                        j=1,j̸=r
то есть равно числу элементов базиса V . Если бы данное множество об-
разующих пространства V было линейно зависимым, то из него можно
было бы выбрать базис V с меньшим числом элементов, что противо-
речит независимости числа элементов базиса от выбора базиса. Таким
образом, базисные элементы всех C(vj , mj ) при j ̸= r и базисные эле-
менты C(v ′′ , mr + 1) в совокупности линейно независимы, и образуют
базис V . Из теоремы 3.1.5 (это известное свойство прямых сумм) теперь
следует, что в определении W сумма подпространств на самом деле яв-
ляется прямой. Итак, пространство V и в этом случае представляется
в виде прямой суммы циклических подпространств.

Следствие 2.2.1. Матрица любого нильпотентного оператора (над
произвольным полем) приводится к жордановой нормальной форме.

  Доказательство. Это следует из предыдущей теоремы и из пред-
шествующей ей леммы, причем каждому прямому слагаемому C(vj , mj )

                                     26

Страницы