Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

из (2.2.1) сответствует жорданова клетка J
m
j
(0). Таким образом, раз-
ложению (2.2.1) соответствует жорданова нормальная форма матрицы
оператора B:
J
m
1
(0) 0 . . . 0
0 J
m
2
(0) . . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0
.
.
.
J
m
s
(0)
Теорема 2.2.2. Матрица произвольного линейного оператора над
полем комплексных чисел может быть приведена к жордановой нор-
мальной форме.
Доказательство теоремы — это фактически те рассуждения, ко-
торые показывают, как задача о нахождении жордановой нормальной
формы произвольного оператора сводится к вопросу о существовании
жордановой нормальной формы для нильпотентного оператора.
Отметим, что если проанализировать всю цепочку рассуждений,
составляющих доказательство этой теоремы (начиная с теоремы
Гамильтона-Кэли), то будет ясно, что над полем действительных чи-
сел матрицу можно привести к жордановой нормальной форме тогда и
только тогда, если ее характеристический многочлен можно разложить
над полем R на множители первой степени.
2.3. Единственность жордановой нормальной ф ормы
и способ ее вычисления
Итак, с точки зрения теории приведение матрицы линейного опера-
тора A к жордановой нормальной форме состоит из следующих ша-
гов. Сначала находятся все собственные значения λ
1
, . . . , λ
m
операто-
27
из (2.2.1) сответствует жорданова клетка Jmj (0). Таким образом, раз-
ложению (2.2.1) соответствует жорданова нормальная форма матрицы
оператора B:                                            
                        Jm1 (0)     0        ...   0
                                                        
                                                        
                         0       Jm2 (0) . . .    0     
                         ..        ..             ..    
                          .         .     ...      .    
                                                        
                          0         0      . . . J (0)
                                                  ms




Теорема 2.2.2. Матрица произвольного линейного оператора над
полем комплексных чисел может быть приведена к жордановой нор-
мальной форме.

  Доказательство теоремы — это фактически те рассуждения, ко-
торые показывают, как задача о нахождении жордановой нормальной
формы произвольного оператора сводится к вопросу о существовании
жордановой нормальной формы для нильпотентного оператора.
  Отметим, что если проанализировать всю цепочку рассуждений,
составляющих доказательство этой теоремы (начиная с теоремы
Гамильтона-Кэли), то будет ясно, что над полем действительных чи-
сел матрицу можно привести к жордановой нормальной форме тогда и
только тогда, если ее характеристический многочлен можно разложить
над полем R на множители первой степени.



     2.3. Единственность жордановой нормальной формы
                     и способ ее вычисления

  Итак, с точки зрения теории приведение матрицы линейного опера-
тора A к жордановой нормальной форме состоит из следующих ша-
гов. Сначала находятся все собственные значения λ1 , . . . , λm операто-

                                        27

Страницы