Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Доказательство. Пусть λ — некоторое собственное значение мат-
рицы A. Положим V
′
= ⊕
λ
′
̸=λ
V (λ
′
), где сумма берется по всем собствен-
ным значениям A, отличным от λ. Тогда
V = V (λ) ⊕ V
′
.
Ограничение A − λE на V (λ) нильпотентно, поэтому
V (λ) =
s
⊕
j=1
C(v
j
, m
j
),
где циклические подпространства
C
j
= C(v
j
, m
j
) = ⟨v
j
, (A − λE)v
j
, . . . , (A − λE)
m
j
−1
v
j
⟩
инвариантны относительно A − λE, а потому и относительно A. Так
как выбор обозначений зависит от нас, то можно предполагать, что
m
1
≤ · · · ≤ m
s
. Положим
r
k
= rk((A − λE)
k
) = dim((A − λE)
k
V ).
Заметим, что (A − λE)
k
C
j
= {0} при k ≥ m
j
. Это следует из того,
что для всех базисных элементов (A − λE)
i
v
j
пространства C
j
после
применения к ним оператора (A − λE)
k
получается нулевой вектор.
Теперь отметим два общих свойства векторных пространств и ли-
нейных операторв.
a) Пусть W = W
1
⊕ · · · ⊕ W
s
— разложение в прямую сумму подпро-
странств, каждое из которых инвариантно относительно оператора B.
Тогда
BW = BW
1
⊕ · · · ⊕ BW
s
.
б) Если при этом W
i
= ⟨u
1
, . . . , u
l
⟩, то BW
i
= ⟨Bu
1
, . . . , Bu
l
⟩.
Пункт а) доказывается так. Любой вектор w ∈ W представляетя в
виде w = w
1
+ · · · + w
s
, где w
i
∈ W
i
для каждого i. Применяя оператор
29
  Доказательство. Пусть λ — некоторое собственное значение мат-
рицы A. Положим V ′ = ⊕ V (λ′ ), где сумма берется по всем собствен-
                           λ′ ̸=λ
ным значениям A, отличным от λ. Тогда

                                    V = V (λ) ⊕ V ′ .

Ограничение A − λE на V (λ) нильпотентно, поэтому
                                          s
                             V (λ) = ⊕ C(vj , mj ),
                                         j=1

где циклические подпространства

         Cj = C(vj , mj ) = ⟨vj , (A − λE)vj , . . . , (A − λE)mj −1 vj ⟩

инвариантны относительно A − λE, а потому и относительно A. Так
как выбор обозначений зависит от нас, то можно предполагать, что
m1 ≤ · · · ≤ ms . Положим

                  rk = rk((A − λE)k ) = dim((A − λE)k V ).

Заметим, что (A − λE)k Cj = {0} при k ≥ mj . Это следует из того,
что для всех базисных элементов (A − λE)i vj пространства Cj после
применения к ним оператора (A − λE)k получается нулевой вектор.
  Теперь отметим два общих свойства векторных пространств и ли-
нейных операторв.
  a) Пусть W = W1 ⊕ · · · ⊕ Ws — разложение в прямую сумму подпро-
странств, каждое из которых инвариантно относительно оператора B.
Тогда
                          BW = BW1 ⊕ · · · ⊕ BWs .

  б) Если при этом Wi = ⟨u1 , . . . , ul ⟩, то BWi = ⟨Bu1 , . . . , Bul ⟩.
  Пункт а) доказывается так. Любой вектор w ∈ W представляетя в
виде w = w1 + · · · + ws , где wi ∈ Wi для каждого i. Применяя оператор

                                              29

Страницы